Inneres und Rand bestimmen von Mengen im R^2.

Question

Aufgabe:

Geben Sie für die Menge $$ S :=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} : x^{2}+y^{2} \geq 2\right\} \subset \mathbb{R}^{2} $$

das Innere und den Rand an, und untersuchen Sie, ob S kompakt ist

Problem/Ansatz:

das Innere ist doch einfach: $$ S^{0}=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} : x^{2}+y^{2}>2\right\} $$

Der Rand ist: $$ \partial S=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} : x^{2}+y^{2}=2\right\} $$

und S kann nicht kompakt sein, weil S nicht beschränkt ist. (folgt aus Heine Borel). Sind meine Überlegungen richtig? Ich würde mich für weitere ideen freuen, danke! Muss ich das noch detaillierter begründen oder ist das ok so?

Answer 1

Sind meine Überlegungen richtig?

Das weiß ich nicht.

Deine Ergebnisse sind richtig. Ob die Überlegungen, die dich zu diesen Ergebnissen geführt haben, richtig sind, kann ich aufgrund mangelnder telepatischer Fähigkeiten nicht beurteilen.

Muss ich das noch detaillierter begründen oder ist das ok so?

Heine-Borel sagt nicht direkt etwas über Beschränktheit aus, sondern über das Zusammenspiel zwischen Kompaktheit und Überdeckungen. Gib einfach eine Überdeckung an, die nach Heine-Borel Kompaktheit widerlegt. Dann bist du auf der sicheren Seite.

Geben Sie ... an ...

In der Schule darf man das mittlerweile wörtlich nehmen. Das heißt du brauchst es nicht zu begründen. An meiner Uni zählte damals nichts ohne Begründung. Frag deinen Professor, wie das bei euch geregelt ist.