R= {(A,B) Element von P(M) x P(M) | |A| (kleiner als) |B|}.
reflexiv: sei X aus P(M) . Dann müsste für (X,X) aus R gelten |X| < |X | .
weil das falsch ist, ist R nicht ref.
symm: seien x,y aus P(M) mit (X,Y) aus R. Dann also |X| < |y |
dann aber nicht |y| < |X | also nicht symmetrisch.
antisymm: wenn (X,Y) aus R und (Y,X) aus R dann müsste X = Y folgen.
Das stimmt, denn da (X,Y) aus R und (Y,X) aus Rimmer falsch ist,
folgt da natürlich alles draus.
transitiv war sicher das letzte ??:
wenn (X,Y) aus R und (Y,Z) aus R dann müsste folgen (X,Z) aus R.
(X,Y) aus R heißt |X| < |Y| und (Y,Z) aus R heißt |Y| < |Z| und damit
wegen der Transitivität der kleiner-Relation in N auch |X| < |Z|
Sicher, dass es in deiner Definition von R nicht
" kleiner oder gleich " hieß. Dann sähe das nämlich alles ganz anders aus.