Relation R auf der Potenzmenge P(M) reflexiv/symmetrisch/transitiv?

Question

Wer kann bei dieser Aufgabe helfen?

Sei M eine endliche Menge mit mind. 2 verschiedenen Elementen. Prüfe, ob die folgende Relation R auf der Potenzmenge P(M) reflexiv, symmetrisch, antisymmetrisch und/oder feflexiv ist.
Ist R eine partielle Ordnung auf P(M)?
Begründe deine Antworten. Dabei ist
R= {(A,B) Element von P(M) x P(M) | |A| (kleiner als) |B|}.

Answer 1

R= {(A,B) Element von P(M) x P(M) | |A| (kleiner als) |B|}.

reflexiv:   sei X aus P(M) .  Dann müsste für (X,X) aus R gelten  |X| < |X | .

weil das falsch ist, ist R nicht ref.

symm:    seien x,y aus P(M) mit (X,Y) aus R.  Dann also |X| < |y |

dann aber nicht |y| < |X | also nicht symmetrisch.

antisymm:  wenn (X,Y) aus R und  (Y,X) aus R dann müsste X = Y folgen.

Das stimmt, denn da (X,Y) aus R und  (Y,X) aus Rimmer falsch ist,

folgt da natürlich alles draus.

 transitiv war sicher das letzte ??:   
wenn (X,Y) aus R und  (Y,Z) aus R dann müsste folgen (X,Z) aus R.
(X,Y) aus R heißt  |X| < |Y| und   (Y,Z) aus R heißt   |Y| < |Z| und damit
wegen der Transitivität der kleiner-Relation in N auch |X| < |Z|

Sicher, dass es in deiner Definition von R nicht
" kleiner oder gleich " hieß. Dann sähe das nämlich alles ganz anders aus.

Comments

tatsächlich ist mir ein kliener Fehler unterlaufen. es heißt  am Ende  | |A| (kleiner gleich) |B|}     !!

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Dachte ich mir, dann sieht es so aus:

R= {(A,B) Element von P(M) x P(M) | |A|  ≤ |B|}.

reflexiv:   sei X aus P(M) .  Dann müsste für (X,X) aus R gelten  |X| ≤ |X | .stimmt.

symm:    seien x,y aus P(M) mit (X,Y) aus R.  Dann also |X| ≤ |y |

da M zwei verschieden Elemente ( etwa a und b ) enthält

gilt dies auch für X = {a} und Y = {a;b}.    denn |X| ≤ |y |  heißt ja dann 1 ≤ 2

aber nicht |y| < |X | also nicht symmetrisch.

antisymm:  wenn (X,Y) aus R und  (Y,X) aus R dann müsste X = Y folgen.

Das stimmt auch nicht, denn mit X={a} und Y = {b}  (siehe oben) gilt

(X,Y) aus R und  (Y,X) aus R   aber es ist nicht X = Y ,

 transitiv
wenn (X,Y) aus R und  (Y,Z) aus R dann müsste folgen (X,Z) aus R.
(X,Y) aus R heißt  |X| ≤ |Y| und   (Y,Z) aus R heißt   |Y| ≤ |Z| und damit
wegen der Transitivität der kleinergleich-Relation in N auch |X| ≤ |Z| wegen fehlender antisymmetrie keine partielle Ordnung.