Für eine monoton wachsende Funktion zeigen....

Question

Aufgabe:

Zeigen Sie, dass für monoton wachsende Funktionen \( f, g: I \rightarrow \mathbb{R} \) auf einem Intervall \( I \subset \mathbb{R} \) auch die Funktion \( \min \{g, f\}: I \rightarrow \mathbb{R} \) monoton wachsend ist.

Answer 1

Ich weiß nicht,ob man das so beweisen kann. Aber vielleicht reicht das ja als Ansatz für dich :
f(x) ist monoton wachsend. Für x_n<x_n+1 gilt : f(x_n) <f(x_n+1).

Das Selbe gilt für g(x) .

min(g, f) besteht nun aus Gliedern aus f(x) und g(x).

Jetzt hast du 3 Fälle,die in jedem Punkt a von min(g,f ) auftreten.

Einmal g(a) <f(a) dann ist min (g,f) = g(a)

Einmal g(a)>f(a)  dann ist min(g,f) = f(a)

Einmal g(a)=f(a)  dann ist min(g,f,) = f(a) = g(a).

D.h. für a  = min[ I ] , weil a ja im Intervall I liegen soll, wird der kleiner der beiden Funktionsterme angenommen.

In jedem Punkt b > a ,mit b-a minimal , tritt jetzt einer der 3 Fälle auf mit zwei Möglichkeiten an vorgliedern.

Gehen wir mal durch:

1. min(g(b),f(b)) = g(b)  und das ist ,laut Voraussetzung >g(a) ,falls das Glied davor g(a) .Falls das Glied vorher f(a) war, so gilt ja f(a) <g(a) . Und da grade gesagt wurde g(a) <g(b) folgt auch f(a) <g(b).

2. min (g(b),f(b)) =f(b)   das lässt sich analog zu 1. begründen.

3.  lässt sich noch einfacher begründen. Wenn f(b) =g(b) ist,folgt ja direkt f(a)<g(b)=f(b) und g(a) <g(b) =f(b)

Ich weiß nicht,ob so etwas Formal genug erscheint,aber das hier gilt ja für wirklich alle a<b mit sehr geringem Abstand voneinander.
Was formaleres fällt mir leider grade nicht ein.

Gruß,
Marvin