linearen unterraum von k^n bestimmen

Question

Sei A ∈ K^m,n . Zeigen Sie, dass U=⟨x ∈ Kⁿ  Ι Ax=0⟩ ein linearer Unterraum von Kⁿ   ist und dim= n-Rang A gilt.

Answer 1

U=⟨x ∈ Kⁿ  Ι Ax=0⟩    Da U ⊂ K^n ist und die gleichen Rechenoperationen betrachtet werden

ist nur zu prüfen  1. für alle x,y aus U ist auch x+y aus U und

2.für alle a aus K und x aus U ist   a*x aus U.

zu 1 seien also x,y aus U, dann ist A*x=0 und A*y=0

dann ist A(x+y) = Ax + Ay  (Distributivität der Mat.multipl.)

= 0 + 0 = 0  also x+y aus U

zu 2 )     aaus K und x aus U also A*x=0

dann ist A(a*x) = a*(A*x) = a*0 = 0 also ax aus U

Damit ist U Unterraum von K^n.

IAußerdem ist f: K^n → K^n mit  f(x) = A*x der zur Matrix A gehörige Homomorphismus,

dessen Kern gerade U ist.

wegen dim(Kern(f)) =  dim(K^n) - dim( Bild(f)) = n - Rang(A) ist alles gezeigt.