matrix symmetrisch, schiefsymmetrisch. Darstellung als summe eindeutig?

Question

Eine Matrix A ∈ ℝ^n*n heißt symmetrisch, wenn gilt A^T =A. A heißt schiefsymmetrisch, wenn gilt A^T = - A.

Zeigen Sie: Für jede Matrix A ∈ ℝ ^n*n ist B:= 0,5(A + A^T ) eine symmetrische und C:= 0,5 (A - A^T ) eine schiefsymmetrische Matrix. Demnach ist A= B + C die Darstellung von A als eine Summe auf einer schiefsymmetrischen Matrix. Ist diese Darstellung eindeutig?

Answer 1

Für jede Matrix A ∈ ℝ ^n*n ist B:= 0,5(A + A^T ) eine symmetrische und C:= 0,5 (A - A^T ) eine schiefsymmetrische Matrix.

B:= 0,5(A + A^T )  also zu zeigen B^T = B

B = 0,5*A + 0,5*A^T also
B^T = ( 0,5*A + 0,5*A^T) ^T = (0,5*A)^T + (0,5*A^T)^T
                                                 = 0,5*A^T + 0,5* (A^T)^T
                     

                                             =  0,5*A^T + 0,5* A

                                                 = 0,5*A  + 0,5*A^T = B  

C = 0,5(A - A^T )   zu zeigen C^T = - C

C^T = ( 0,5*A - 0,5*A^T) ^T = (0,5*A)^T - (0,5*A^T)^T
                                                 = 0,5*A^T - 0,5* (A^T)^T
                     

                                             =  0,5*A^T - 0,5* A

                                                 =  - (0,5*A  - 0,5*A^T)
                                               = - C.