Lösung dieser Gleichung: x·sin(35°)=x·tan(35°) - 1

Question

Einen guten Tag an Mathegenies,

ich habe folgendes Problem. Ich möchte meinem Enkel (Klasse 10) die Lösung dieser Aufgabe erklären.
Ausgangsformel lautet:

x·sin(35°)=x·tan(35°) - 1

durch Umstellen, Ausklammern und Division einsteht dieser Bruch:

x= - 1/sin(35°)-tan(35°)

da vor dem Zähler (-1) ein minus steht, ich also die Gleichung mit minus erweitern müsste, würde vor dem x auf der linken Seite ein minus stehen. Ansonsten würde die Gleichung nicht stimmen.
Als Ergebnis soll 7,9 cm herauskommen.

Ich habe gelernt (ist schon einige Jahrzehnte her), dass bei einer Gleichung ein bestimmter Vorgang immer auf beiden Seiten durchgeführt werden muss.
Ich bin Ihnen dankbar, wenn Sie mir erklären würden welchen Irrtum ich da unterliege.



Rainer Kanter

Answer 1

Du kannst hier das MINUS vor 1 schon im 1. Schritt wegbringen.

x·sin(35°)=x·tan(35°) - 1         | + 1 - x*sin(35°)

1 = x*tan(35°) - x*sin(35°) = x*(tan(35°) - sin(35°)) 

1/(tan(35°) - sin(35°)) = x

Comments

Wenn das hier rauskommt:

x= - 1/ (sin(35°)-tan(35°) )

Muss man um den Nenner Klammern setzen. Da sonst Punkt-vor Strichrechnung verhindert, dass der Taschenrechner etwas Sinnvolles ausgibt.

EDIT: Warum cm rauskommen sollen, weiss ich nicht. Zwei der eingefügten Bilder werden leider nicht angezeigt.

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Ja richtig: 1/(tan(7Pi/36)-sin(7Pi/36))

= 7.896954107815680276942384581898383667719916237099789...

und das ist stark gerundet 7.9

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Hallo hyperG,
ich bitte um den gesamten Rechenweg warum aus 35° (7Pi/36) wird. Damit kann ich leider nichts anfangen. Wie in meiner Frage schon geschrieben "Jahrzehnte her". Würde mich aber trotzdem interessieren.

Vielen Dank für die Mühe und freundliche Grüße

R.Kanter

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Ich bin wegen der Nähe zur Reihenentwicklung und wegen des Vorteils "Umrechnen von Einheiten bei SI nicht mehr nötig" ein Benutzer der internationalen SI-Einheit -> und die lautet nun mal bei Winkel rad oder einfach weglassen. Historisch wurde jedoch die alte Einheit ° (Grad) verwendet.

Ein Vollkreis hat die Länge U=2 * Pi * r -> daher Winkel= U/r = 2 * Pi

was 360° entspricht, d.h. Halbkreis: Pi rad oder 180° usw.  (Verhältnisfaktor 180/Pi)

also 35° * Pi/180 = Pi * 7/36 rad

Für viele Winkel gibt es bei der Sinus-Berechnung einen exakten Wurzelwert, was die Tabelle unter

http://www.gerdlamprecht.de/sin(x)ExactTrigonometricConstants.htm  zeigt (°  | Rad | sin ).  

Weiter unten sieht man, wie tan aus sin berechnet werden kann:

tan(x)=sin(x)/sqrt(1-sin(x)²)    mit sqrt(x)=Wurzel von x

Alles zusammen:

1/{[((-1)^{11/36}-(-1)^{25/36})/2]/sqrt(1-(((-1)^{11/36}-(-1)^{25/36})/2)²)-((-1)^{11/36}-(-1)^{25/36})/2}

= 7.896954107815680276942384581898383667719916237099789...   

also exakt das selbe Ergebnis, welches man Mio. Stellen berechnen kann, nur eben auf 2 völlig verschiedenen Wegen.

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zu "Reihenentwicklung": wenn man sin exakt auf über 30 Stellen berechnen will, benötigt man die Reihenentwicklung mit der Einheit rad:

sin(x) = x-x^3/6+x^5/120-...

Genau das macht der Taschenrechner, wenn man auf ° stellt: er rechnet den Eingangswinkel intern in rad um.  Alerdings haben einfache Rechner nur 8 Stellen und da reicht eine Näherungsformel.