Lineares Gleichungssystem mit Variable

Question

Für a∈ℤ=5ℤ sei das folgende lineare Gleichungssystem über Z=5Z gegeben

0         2          3                x_{1              4}
4         4          0         *      x_{2    =       2}
a²-a    1          4                x₃        a²+1

Für welche Werte von a hat das Gleichungssystem (i) genau eine , (ii) mehr als eine
und (iii) keine Lösungen.
Was sind in den Fällen (i) und (ii) die Lösungen.

Ich weiß nicht genau wie ich vorgehen muss,
Ich habe anfangs einfach mal a=0 gesetzt und folgendes rausbekommen:
x₁ = - 2,1
x₂ =   2,6
x₃ = - 0,4

Meine Vermutung ist es das man für negative a's keine Lösung bekommt und für positive a's mehrere ,
nur wie kann ich das beweisen.

MFG

Answer 1

x₁ = - 2,1
x₂ =   2,6
x₃ = - 0,4
Dies können keine Lösungen sein.

Du musst beachten,dass dein Gleichungssystem über dem Körper Z/5Z  gegeben ist.

Das ist der Restklassenring 5.

Das ist kongruent zu x modulo 5 .

Der Körper beinhaltet also die Zahlen 0,1,2,3,4.

Multipliziert man oder addiert Zahlen miteinander betrachtet man von diesem Ergebnis immer modulo 5 .

Comments

Reicht es dann aus Für a 0-4 einzusetzen und/oder muss man beim umformen des LGS 
noch was beachten ?

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Ja.

Du musst beachten ,dass z.b. 2+4= 6 = 1

bzw. 1+4=5 =0

usw.

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also zum beispiel 
11x₃= 12 wird zu x₃=2 ?

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Ein Kleines beispiel das der Aufgabe entspricht würde ich vielleicht eher verstehen ,
bei mir kommen nur widersprüche raus.
Muss ich die 0-4 für die x's einsetzen oder für a ?

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Du musst 0-4 für a einsetzen.

Okay ein Beispiel:

Für a= 0

0         2          3      _{|     4}
4         4          0      _{|     2}
0         1         4       |     0

Jetzt bringe ich das auf Zeilenstufenform(:

4         4          0      _{|     2}

0         1         4       |     0

0         2          3      _{|     4}

Ich multipliziere die zweite Gleichung mit 3 und addiere sie auf die 3.

4         4          0      _{|     2}

0         1         4       |     0

0         0        1        |     4

x3= 4

x2+4*4=0 =>>> x2+16=0 ===> x2+1=0 ===> x2= 4

4x1+4x2= 2 ===>>> 4x1+1=2  ====> 4x1=1 ====> x1=4

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Nach der Zeilenstufenform Multiplizierst du die 2. Gleichung mit 3
Eigentlich kommt da ja raus 
0   3   12   0
Das wird dann zu 
0   3   2    0   ??? 
Das addiert mit der 3. Zeile ist dann doch
0   5   5   4 
was wieder zu
0  0   0   4   wird . ???

Wie rechnest du diesen Schritt

( sry das ich so schlecht bin , habe bestimmt schon 20 seiten vollgeschrieben und nichts raus )

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Ich multipliziere die zweite Gleichung mit 3 und addiere sie auf die 3.

4         4          0      _{|     2}

0         1         4       |     0

0         0        1        |     4

Ein Fehler von mir.

Ich habe die den x3 Vorfaktor abgezogen und nicht addiert. Du hast recht:
0  0   0   4

ist die dritte Zeile.

Daraus folgt doch,das es keine Lösung für das Gleichungssystem gibt.

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also ist meine art zu rechnen jetzt richtig ?
und deine umformung in die Zeilenstufenform ist nicht unbedingt nötig soweit ich weiß

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kann x alle werte annehmen oder auch nur 0-4 ?

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Ohne Zeilenstufenform lässt sich nicht immer erkennen,wieviele Lösungen es gibt.
Ja ich habe das ja auch so gerechnet,wie du nur ich habe mich vertippt und damit weitergerechnet,was falsch war :)

Ich denke x kann alle Werte annehmen , aber da du dich über dem Körper Z/5Z befindest wird x sobald es größer gleich 5 ist direkt an den Körper angepasst.
Da bin ich mir nicht so ganz sicher.
Oder steht da irgendwo x ist Element Z/5Z in der Aufgabe?

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für x gibt es keine einschränkungen laut aufgabe