Aufgabe:
Aufgabe 1 Gegeben sei die Abbildung
\( I: B([0,1]) \rightarrow \mathbb{R}: f \mapsto \frac{1}{2}\left(\int \limits_{0*}^{1} f(x) d x+\int \limits_{0}^{1*} f(x) d x\right) \)
Beweisen Sie:
a) Für alle \( f \in R([0,1]) \) gilt \( I(f)=\int \limits_{0}^{1} f(x) d x \).
b) Für alle \( f, g \in B([0,1]) \) mit \( f \leq g \) gilt \( I(f) \leq I(g) \)
c) Fur alle \( \lambda \in \mathbb{R} \) und alle \( f \in B([0,1]) \) gilt \( I(\lambda f)=\lambda I(f) \).
d) Es existieren \( f, g \in B([0,1]) \) mit \( I(f+g)<I(f)+I(g) \).
$$ \int _{ a }^{ b* }{ f(x) ~ dx } $$ bzw. $$ \int _{ a* }^{ b }{ f(x)~dx } $$
bezeichnen hierbei das Ober- bzw. Unterintegral:
\( f∈B([a,b]) \) bedeutet, dass f eine beschränkte Funktion ist und \( f∈R([a,b]) \), dass f Riemann-integrierbar ist.
Meine Ideen wären folgende:
a) Da \( f∈R([a,b]) \) folgt $$ \int _{ a* }^{ b }{ f(x)\quad dx= } \int _{ a }^{ b* }{ f(x)\quad dx= } \int _{ a }^{ b }{ f(x)\quad dx } $$
Also gilt $$ I(f)=\frac { 1 }{ 2 } \cdot \left( \int _{ 0* }^{ 1 }{ f(x)\quad dx+ } \int _{ 0 }^{ 1* }{ f(x)\quad dx } \right) \\ =\frac { 1 }{ 2 } \cdot \left( \int _{ 0 }^{ 1 }{ f(x)\quad dx+ } \int _{ 0 }^{ 1 }{ f(x)\quad dx } \right) \\ =\frac { 1 }{ 2 } \cdot \left( 2\cdot \int _{ 0 }^{ 1 }{ f(x)\quad dx } \right) \\ =\int _{ 0 }^{ 1 }{ f(x)\quad dx } $$
b) Da \(f≤g\) folgt $$ \int _{ a* }^{ b }{ f(x)\quad dx\le } \int _{ a* }^{ b }{ g(x)\quad dx\quad \quad \quad \wedge } \quad \quad \quad \int _{ a }^{ b* }{ f(x)\quad dx\le } \int _{ a }^{ b* }{ g(x)\quad dx } $$
Also gilt $$ I(f)=\frac { 1 }{ 2 } \cdot \left( \int _{ 0* }^{ 1 }{ f(x)\quad dx+ } \int _{ 0 }^{ 1* }{ f(x)\quad dx } \right) \\ \le \frac { 1 }{ 2 } \cdot \left( \int _{ 0* }^{ 1 }{ g(x)\quad dx+ } \int _{ 0 }^{ 1* }{ g(x)\quad dx } \right) \\ =I(g) $$
Kann man das so machen?
Hinweis:
Das folgende Übungsblatt benutzt einige vom Gathmann-Skript abweichenden Notationen. Daher hier eine kurze Erklärung:
- Für \( a, b \in \mathbb{R} \) mit \( a<b \) bezeichnet \( B([a, b]) \) die Menge der beschränkten Funktionen von \( [a, b] \) nach \( \mathbb{R} . \) Desweiteren bezeichnet \( R([a, b]) \) die Menge der Riemann-integrierbaren Funktionen von \( [a, b] \) nach \( \mathbb{R} \).
\( \bullet \int \limits_{0 *}^{1} f(x) d x \) bezeichnet das Unterintegral von \( f \)
- Analog bezeichnet \( \int \limits_{0}^{1 *} f(x) d x \) das Oberintegral von \( f \).
