Aufgabe:
$$\text{Sei } Q\subseteq \mathbb{R}^n \text{ein Quader. Wir nennen eine beschränkte Funktion} f: Q \longrightarrow \mathbb{R} \text{eine Treppenfunktion, } $$
$$\text{ wenn es eine Zerlegung } Z \text{ von }Q \text{ gibt, so dass} \text{ f im Inneren jedes Teilquaders von } Z\text{ konstant} $$
$$\text{ ist, und wir nennen die Zerlegung } Z \text{ dann zu } f\text{ passend.}$$
a) $$ \text{ Zeige, jede Treppenfunktion } f: Q \longrightarrow \mathbb{R} \text{ ist Riemann-integrierbar mit: }$$
$$ \int \limits_{Q}^{}f(x) dx = \sum \limits_{P\in TQ(Z)}^{} c_p \cdot V(P)$$
$$ \text{ wenn } Z\text{ eine zu } f\text{ passende Zerlegung ist und } c_p \text{ der konstante Wert ist, den } f \text{ auf dem Quader } P \text{ annimmt.}$$
b) $$ \text{ Zeige, ist } (f_m)_{m\in\mathbb{N}} \text{ eine Folge von Treppenfunktionen auf } Q\text{, die auf } Q$$
$$\text{gleichmäßig gegen eine Funktion } f: Q \longrightarrow \mathbb{R} \text{ konvergiert, dann ist auch } f \text{ Riemann-integrierbar und es gilt:} $$
$$ \int \limits_{Q} f(x)dx = \lim\limits_{m\to\infty} \int \limits_{Q} f_m(x)dx$$
