Zwei konvergente Folgen mit >0 und unendlich konvergieren gegen unendlich

Question

Es seien (a_n)_n∈ℕ und (b_n)_n∈ℕ zwei kovergente Folgen in ℝ mit lim_(n→∞)(a_n) > 0 und
lim_(n→∞)(b_n)= ∞. Zeigen Sie, dass lim_(n→∞)(a_nb_n)= ∞.

Per Definition weiß ich, dass man lim_(n→∞)(x_n)= ∞ schreibt, falls für alle C ∈ ℝ ∃ N ∈ ℕ so, dass für alle n≥N gilt x_n≥ C.

Aber wie kann ich diese Definition hier anwenden? Für x_n kann ich schon mal a_nb_n einsetzen oder? Nun muss ich doch ein N finden oder?

Comments

Mache eine Abschätzung mit \(a:=\sup( (a_n) )\).

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okay...
Aber was genau bringt mir das? sup(a_n) ist die kleinste obere schranke von (a_n)
Mein Problem ist,dass ich ja keine konkrete Folge gegeben habe, oder kann ich mir eine Folge aussuchen für die das gilt z.B. 1/n²?
Kannst du mir vielleicht einen Ansatz geben, wie ich mit diesem Beweis beginnen kann?

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Was das genau bringt, weiß ich jetzt, wo ich noch mal drüber nachgedacht habe, auch nicht mehr. Vielleicht fällt mir morgen noch was dazu ein! :-)

Answer 1

das mit dem Supremum find ich nicht wirklich zielführend. Hier ein paar Gedanken:

Sei \( \lim \limits_{n \to \infty} a_n =:a > 0 \). Betrachte ein \(\varepsilon\), so dass \( a - \varepsilon := c > 0\)

Dann existiert ein \( N \in \mathbb{N} \) so dass \( c \leq a_n \quad \forall n \geq N \).

$$ \Rightarrow cb_n \leq a_nb_n \quad \forall n \geq N$$

Außerdem gilt \( \lim \limits_{n \to \infty} cb_n = \infty \).

Gruß

Answer 2

Wie bereits erwähnt ,eine Abschätzung mit a =<sup(a_n) hilft.

Also kannst du diesen Limes bestimmen:

limes n-> unendlich  von ( a_n) >=   limes n-> unendlich  von ( sup(a_n) ) = sup(a_n)

limes n-> unendlich  von ( a_n * b_n ) >= limes n-> unendlich  von ( sup(a_n) * b_n ) = ...

Jetzt hast du gegeben,dass lim_(n→∞)(a_n) > 0 ,also ist  sup(a_n)>0 . Wende jetzt mal die Rechenregeln an für den Grenzwert,indem du beachtest ,dass sup(a_n) eine Konstante ist.

Comments

Ich verstehe Null wie einem das weiter helfen soll oder auf was du hinauswillst.

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Sei a eine konstante Zahl.
Es gilt:
lim x-> unendlich (a* b_n) = a* lim x->unendlich  (bn)
Ist der limes = unendlich gilt für alle positiven a:
lim x-> unendlich (a* b_n) =  unendlich