Vektoren parallel oder identisch

Question

Ich hab eine Aufgabe, bei der ich entscheiden soll ob die geraden g und h parallel oder identisch sind; ich bin mir nicht ganz sicher wie das geht, kann mir jemand sagen ob ich das richtig mache und wenn nicht, richtig erkäre.

A) g:x= (1/2/3) + r*(2/4/1) ; h:x=(3/6/4)+ t*( 4/8/2)

Sie sind nur parallel, weil die ortsvektoren nicht zusammenpassen, Die richtungsvektoren jedoch schon  ( wenn t=2) ?!

C) g:x=(1/1/0)+r*(2/2/-1) ; h:x= (1/1/0)+ r*(-1/-1/0,5)

Sie sind identisch weil die ortsvektoren gleich sind und die ortsvektoren auch, wenn r= -0,5 ist?!

Answer 1

du hast schon richtig erkannt, dass man an den Richtungsvektoren erkennen kann ob die beiden Geraden parallel sind.

Sind zusätzlich noch die Ortsvektoren gleich dann sind die Geraden identisch -> Logisch, hast du auch richtig erkannt.

Aber: Nur weil die Ortsvektoren verschieden sind heißt dies nicht das die Geraden nicht identisch sind. Du musst schauen, ob im Fall, wenn beide Geraden parallel sind der Ortsvektor der einen Geraden auf der anderen Geraden liegt (Dann sind sie identisch). Und bei Aufgabe A) ist dies der Fall, setze bei g für r=1 ein.

Gruß

Comments

Ok, erstmal vielen Dank, kannst du mir nur noch mal sagen, wie genau man jetzt herausfindet ob die gerade auf der anderen liegt?

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In diesem Fall würdest du zum Beispiel \(r\) suchen, so dass

$$ \begin{pmatrix} 1\\2\\3 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 6 \\ 4 \end{pmatrix} $$

Das ergibt 3 Gleichungen:

$$ 1) 1 + 2r = 3 $$

$$ 2) 2 + 4r = 6 $$

$$ 3) 3+r = 4 $$

Wenn diese 3 Gleichungen alle dasselbe \(r\) ergeben, dann liegt der Punkt auf der Geraden. Wenn nicht dann nicht :)