Sind die Geraden g und h identisch oder parallel?

Question

Aufgabe:

Entscheiden, Sie ob die Geraden g und h parallel bzw. identisch sind.

Da ich nicht weiß, wie ich die Vektoren hier schreiben kann, habe ich sie aufgeschrieben zusammen mit meinem Ansatz bzw. Lösung.

Problem/Ansatz:

b) habe ich schon gelöst. Ist das richtig? Falls nicht, würde ich mich über Hilfe freuen. Und reicht das so aus oder muss das noch ausführlicher.

Bei c) habe ich einen Ansatz, jedoch noch keine Lösung, weil ich da nicht weiterkomme. Da würde ich mich sehr über Hilfe und eine Erklärung freuen.

Text erkannt:

Buch S. 54 Nr.1
b)
\( g: \vec{x}=\left(\begin{array}{l}0 \\ 7 \\ 3\end{array}\right)+r \cdot\left(\begin{array}{l}1 \\ 3 \\ 9\end{array}\right) ; h: \vec{x}=\left(\begin{array}{l}6 \\ 2 \\ 0\end{array}\right)+s \cdot\left(\begin{array}{l}1 \\ 3 \\ 1 \\ 3\end{array}\right) \)
\( \left(\begin{array}{l}1 \\ 3 \\ g\end{array}\right)=3 \cdot\left(\begin{array}{l}1 \\ 3 \\ 1 \\ 3\end{array}\right) \rightarrow g \) und \( h \) sind parazzez
c)
\( \begin{array}{l} g: \vec{x}=\left(\begin{array}{l} 1 \\ 1 \\ 0 \end{array}\right)+r \cdot\left(\begin{array}{l} 2 \\ 2 \\ -1 \end{array}\right) ; h: \vec{x}=\left(\begin{array}{l} 1 \\ 1 \\ 0 \end{array}\right)+r \cdot\left(\begin{array}{c} -1 \\ -1 \\ 0,5 \end{array}\right) \\ \left(\begin{array}{l} 1 \\ 1 \\ 0 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{l} -1 \\ -1 \\ 0,5 \end{array}\right) \end{array} \)

Answer 1

Damit zwei Geraden parallel oder identisch sind, müssen die Richtungsvektoren linear abhängig (vielfache voneinander) sein.

Damit sie dann identisch sind muss der Ortsvektor der einen Geraden auf der anderen Geraden liegen.

b)

[1, 3, 9] = 3 * [1/3, 1, 3] → Richtungsvektoren linear abhängig

[0, 7, 3] + r * [1, 3, 9] = [6, 2, 0] → Keine Lösung und damit echt parallel

c)

[2, 2, -1] = -2 * [-1, -1, 0.5] --> Richtungsvektoren linear abhängig

Die Ortsvektoren stimmen überein und damit sind die Geraden identisch.

Comments

Vielen Dank für die Hilfe und Erklärung! VG

Answer 2

\( \left(\begin{array}{l}0 \\ 7 \\ 3\end{array}\right)+r \cdot\left(\begin{array}{l}1 \\ 3 \\ 9\end{array}\right) =\left(\begin{array}{l}6 \\ 2 \\ 0\end{array}\right)+s \cdot\left(\begin{array}{l}1/3 \\ 1 \\ 3\end{array}\right) \)

Wenn das Gleichungssystem keine Lösung hat, dann sind die Geraden echt parallel.

Wenn es unendlich viele Lösungen hat, dann sind die Geraden identisch.

(Zwei Geraden werden als echt parallel bezeichnet, wenn sie parallel, aber nicht identisch sind.)