Wie groß ist die von Fluss und Straße eingeschlossene Fläche? (Modellierung mit exponentiellen Termen)

Question

Aufgabe Straße:

Ein Fluss verläuft längs der \( \mathrm{x} \)-Achse. Der Verlauf einer Straße wird beschrieben durch die Funktion \( f(x)=x \cdot e^{2-x}(0 \leq x \leq 2) \) sowie eine quadratische Funktion \( g \), die an \( f \) im Punkt \( \mathrm{P}(2 \mid 2) \) ohne Knick anschließt und auf den Fluss im Punkt \( \mathrm{Q}(6 \mid 0) \) trifft.

Ermitteln Sie die Funktionsgleichung von \( \mathrm{g} \).

Weisen Sie nach, dass \( \mathrm{F}(\mathrm{x})=-(\mathrm{x}+1) \cdot \mathrm{e}^{2-\mathrm{x}} \) eine Stammfunktion von \( \mathrm{f} \) ist.

Wie groß ist die von Fluss und Straße eingeschlossene Fläche (LE: \( 1 \mathrm{~km} \) )?

Answer 1

f(x) = x·e^{2 - x}

f'(x) = e^{2 - x}·(1 - x)

g(2) = 2
g'(2) = f'(2) = -1
g(6) = 0

Wir erhalten die Gleichungen

4a + 2b + c = 2
4a + b = -1
36a + 6b + c = 0

Hieraus folgt die Funktionsgleichung

g(x) = 0,125·x² - 1,5·x + 4,5

Kommst du dann alleine klar ?