Exponent durch Multiplizieren mit ln "freischaufeln"

Question

ich habe eine Frage zum Lösen von Gleichungen mit x im Exponent.

Hat man beispielsweise diese Gleichung:

5 = e^x

muss man ja einfach beide seiten mit ln multiplizieren und erhält dann

ln5 = x

Wie funktioniert aber das ganze bei z.b.

4 = 2^x-2

mit ln multipliziert erhält man

ln4 = (x-2)x(ln2)

Dazu nun die Frage:

Muss man also für den Fall, dass die Basis ungleich e ist, sie mit ln multiplizieren?

Answer 1

Das "mit ln multiplizieren" solltest du sofort vergessen!

Du wendest die (natürliche) Logarithmus-Funktion auf beide Seiten der Gleichung an.

Für das Lösen von solchen Gleichungen musst du ein paar Eigenschaften des Logarithmus kennen, es gilt nämlich:

\(\ln(a\cdot b)=\ln(a)+\ln(b)\) und \(\ln(a^{r})=r\cdot \ln(a)\) für alle zulässigen Werte (der Logarithmus nimmt nur positive Werte entgegen)

Comments

Danke für die rasche Antwort!

"mit ln multiplizieren" war natürlich das Anwenden gemeint.
Ich wusste nicht, dass man das nicht "beide Seiten mit ln multiplizieren" nennen darf, denn letztendlich ist das ja das gleiche?

---

Nein, "Multiplizieren" ist eine (zweiseitige) Operation auf "gleichartigen" Elemente.

Das ist von mir sehr schlecht ausgedrückt, weil ich dich mit algebraischen Strukturen verschonen will.

Es stimmt zwar, dass es eventuell sogar sehr sinnvoll ist das Anwenden einer Funktion als "Multiplikation" anzusehen, aber dann als "Multiplikation" von Funktionen, also als \(\circ\).

Answer 2

jede Gleichung ist anders

4 = 2^x - 2   |  + 2
2^x = 6  | ln ( )
ln(2^x) = ln ( 6 )
x * ln(2) = ln ( 6 )
x = ln (6 ) / ln ( 2 )