Unbestimmtes Integral tan^4(x)-1 dx

Question

könnt ihr mir bitte bei folgend unbestimmten Integral helfen die Stammfunktion zu bilden. Hatten die Aufgabe kürzlich bei einer Mathe Klausur und komme nun trotz Internet und Rechenprogrammen nicht auf den richtigen Lösungsweg.

∫tan⁴(x)-1dx

Danke schon mal im Voraus

lg

Comments

Möglicherweise hilft die Faktorisierung \(\tan^4x-1=(\tan^2x+1)(\tan^2x-1)\) und die Substitution \(z=\tan x\) mit \(\frac{\mathbb dz}{\mathbb dx}=1+\tan^2x\).

Answer 1

Hallo.

∫tan⁴(x)-1dx

Nun kannst du dein Integral umschreiben:

∫tan²(x) * tan²(x) dx

Jetzt musst du wissen: es gilt sin²(x)-tan²(x) = 1.  Nach tan umgeformt ist das also tan²(x) = sin²(x) -1.

Das setzen wir ein: 

∫tan²(x)(sin²(x)-1) dx

wieder etwas umformen und wir erhalten:

∫tan²(x)sin²(x) -tan²(x) dx

= ∫tan²(x)sin²(x) dx -∫tan²(x) dx

Jetzt machen wir wieder das Selbe mit dem zweiten Integral und wir erhalten:

∫(tan²(x)sin²(x)dx) - ∫((sin²(x)-1)dx)

Jetzt musst du wissen: Die Ableitung von tan(x) ist sin²(x), das nutzen wir hier. Denn dann kann man das so schreiben:

∫tan²(x)•tan'(x) dx -∫tan'(x) dx +∫1 dx

Nun integrieren wir und erhalten:

∫tan⁴(x)-1dx = tan³(x)/3 -tan(x) +x

Ich hoffe dass ich etwas helfen konnte und dass mir kein Fehler unterlaufen ist...

Comments

Hi ShD,

wow beeidruckt. Vielen Dank hast mir sehr geholfen.

Lg heirepri

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wovon beeindruckt? :)

Das freut mich sehr, dass ich dir helfen konnte. Vielen lieben Dank dir für die Auszeichnung meiner Antwort! :)

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Selbst wenn man nichts von Additionstheoremen und Ableitungen trigonometrischer Funktionen weiß, so reicht doch die Kenntnis des Wertebereichs der Sinus-Funktion aus, um allein durch einen Vorzeichenvergleich der linken und rechten Seite die Gleichung   tan²(x) = sin²(x) -1   als unsinnig zu erkennen.

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okay, jeder darf mal Fehler machen...tut mir leid.

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Jetzt musst du wissen: Die Ableitung von tan(x) ist sin²(x)

Muss man das?

Wie man leicht durch Ableiten erkennt, ist die Lösung falsch.