Berechnen Sie, in welchem Punkt und unter welchem Winkel der Bussard die Ebene durchfliegt. (Flugebene Vögel)

Question

Aufgabe:

Ein Bussard kreist über einem Feld und erspäht eine Maus auf dem Boden \( (x-y \)-Ebene). Er fliegt von

\( A(39|3| 36) \) aus geradlinig in Richtung \( \left(\begin{array}{c}1 \\ -3 \\ -6\end{array}\right) \) auf die Maus zu (1 LE = 10 m).

a) Geben Sie eine Geradengleichung für die Flugbahn des Bussards an.

Ermitteln Sie die Koordinaten des Punktes \( M \), in dem sich die Maus befindet.

[Zur Kontrolle: \( M(45|-15| 0)] \)

Vom Punkt \( A \) aus erreicht der Bussard die Maus in 10 Sekunden.

Bestimmen Sie seine Geschwindigkeit in \( \frac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}} \).

b) In der Ebene \( E \) mit der Gleichung \( x+y+12 z=326 \) fliegt zur gleichen Zeit ein Schwarm Zugvögel. Der Bussard durchfliegt bei seinem Sturzflug die Flugebene der Vögel. Berechnen Sie, in welchem Punkt \( S \) und unter welchem Winkel er die Ebene \( E \) durchfliegt.

c) Ein Flugzeug fliegt entlang der Geraden \( f: \vec{x}=\left(\begin{array}{l}50 \\ 75 \\ 24\end{array}\right)+t\left(\begin{array}{l}-2 \\ -4 \\ 0,5\end{array}\right) ; t \in I R \)

Weisen Sie nach, dass das Flugzeug nicht auf den Vogelschwarm aus b) treffen kann. Berechnen Sie den Abstand, den die Flugbahn des Flugzeugs von der Flugebene \( E \) der Zugvogel hat.

d) Der Vogel an der Spitze des Vogelschwarms aus b) trifft im Punkt \( P(70|-80| 28) \) auf eine nach oben gerichtete Luftströmung und verändert daraufhin seine Flugbahn. Ohne diese Änderung wäre er direkt in Richtung \( Q(22|-56| 30) \) geflogen. Durch die Richtungsänderung ubberfliegt er \( Q \) aber in einer Höhe von \( 400 \mathrm{~m} \) über dem Boden.

Berechnen Sie, für welchen Wert von \( z \) der Vektor \( \vec{r}=\left(\begin{array}{c}-6 \\ 3 \\ z\end{array}\right) \) die neue Richtung der Flugbahn angibt.

Ansatz/Problem:

Ich bin Schülerin in der 10. Klasse Gymnasium, jedoch bringe ich mir Stoff der Oberstufe selbst bei. Momentan sitze ich an der Vektorrechnung und berechne Abituraufgaben.

Es geht um die Aufgabe b). In Aufgabe a habe ich wie folgt gerechnet:

- Stützvektor = Ortsvektor von A: V (V steht bei mir jetzt einfach mal für Vektor( b = (39|3|36)

- Richtungsvektor: V(a) = (1|-3|-6)

- => V(p) = (39|3|36) +t•(1|-3|-6)

Nun kann man das Ganze "aufsplitten" in folgende drei Gleichungen:

x = 39 +t

y = 3 -3t

z 0 36 -6t

z = 0: 0 = 36-6t => t = 6

=> M(45|-15|0)

Nun habe ich den Vektor von A nach M bestimmt:

V(c) = M - A = (6|-18|-36)

Länge des Vektors bestimmen: √(1656) ≈ 40,7

=> s = 407m; t = 10s

=> v = 407m/s = 147km/h

Nun zu Teil b:

Ich habe ja die Ebene sowie meine Gerade. Nun habe ich für die Koordinaten jeweils eingesetzt und wie folgt gerechnet:

(39+t) + (3-3t) +12(36-6t) = 326 

=> t = 2

Nun in die Geradengleichung eingesetzt, man erhält S(41|-3|24).

Die Rechnung habe ich nur aufgeführt, weil man ja vielleicht was davon brauchen könnte.

Jetzt brauch ich noch den Schnittwinkel. Eigentlich muss man ja mit dem Kreuzprodukt den Normalenvektor bestimmen. Kann man es einfach so machen, dass man nun sagt, dass s ja ein Punkt in der Ebene ist und nun den Vektor zu s bestimmt? Dann Kreuzprodukt. Okay, aber von welchem Punkt soll ich denn ausgehen, wenn man den Vektor zu s bestimmen soll, um den Normalenvektor berechnen zu können?

Quelle: Zentralabitur 2014 Mathe Grundkurs, Senatsverwaltung Berlin, Zentralabitur-2014.pdf (1,3 MB)

Comments

zur Anschauung (im Anschauungsraum)

Answer 1

Für den Winkel berechnest du einfach den Winkel zwischen einem Normalenvektor der Ebene und dem Richtungsvektor der Geraden, das wären hier(1/1/12) und (1 / -3 /-6) mit dem Skalarprodukt.

Für das Skalarprodukt zweier Vektoren a und b gilt nämlich a * b = |a| • |b|• cos(alpha), wobei alpha der Winkel zwischen den
Vektoren ist.

Hier also:

(1/1/12) * (1 / -3 /-6) = √( 1^2 +1^2  12^2 ) * √( 1^2 + (-3)^2 + (-6)^2 ) * cos (alpha)

1*1 + 1*(-3) + 12*(-6) = ...

Ergibt:

cos(alpha)=-0,9029

also alpha = 155°

Wenn der Normalenvektor entgegengesetzt orientiert wäre, wären das 25°.

Also ist der Winkel zwischen der Ebene und der Geraden 90° - 25° = 65°

Answer 2

Musterlösungen:

Aufgabe a):

Gerade \( g \) für die Flugbahn des Bussards: \( \vec{x}=\left(\begin{array}{c}39 \\ 3 \\ 36\end{array}\right)+r \cdot\left(\begin{array}{c}1 \\ -3 \\ -6\end{array}\right) \)

Koordinaten des Schnittpunktes der Geraden \( g \) mit der \( x-y \)-Ebene: \( z=36-6 r=0 \) führt auf \( r=6 \);
\( \overrightarrow{O M}=\left(\begin{array}{c}39 \\ 3 \\ 36\end{array}\right)+6 \cdot\left(\begin{array}{c}1 \\ -3 \\ -6\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}45 \\ -15 \\ 0\end{array}\right) \), somit ist \( M(45|-15| 0) \)

Geschwindigkeit \( v \) des Bussards:

\( \begin{array}{l} v=\frac{s}{t} ; t=10 \mathrm{~s} ; s=d(A, M) \cdot 10 \mathrm{~m} \text { und } \\ d(A, M)=\sqrt{6^{2}+(-18)^{2}+(-36)^{2}}=\sqrt{1656} \approx 40,7 \\ \mathrm{v}=\frac{407 \mathrm{~m}}{10 \mathrm{~s}}=\frac{407 \cdot 3,6 \mathrm{~km}}{10} \approx 147 \frac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}} \end{array} \)

Aufgabe b):

Schnittpunkt \( S \) der Geraden \( g \) und der Ebene \( E \) :

\( (39+r)+(3-3 r)+12(36-6 r)=326 \) führt auf
\( 474-74 r=326 \) und somit \( r=2 \)

Einsetzen von \( r \) in \( g \) ergibt \( S(41|-3| 24) \).

Schnittwinkel \( \alpha \) zwischen \( E \) und \( g \) :

Mit dem Normalenvektor \( \vec{n}=\left(\begin{array}{c}1 \\ 1 \\ 12\end{array}\right) \) von \( E \) gilt:

\( \sin \alpha=\frac{\left|\vec{m}_{g} \cdot \vec{n}\right|}{\left|\vec{m}_{g}\right| \cdot|\vec{n}|}=\frac{|1-3-72|}{\sqrt{46} \cdot \sqrt{146}} ; \) somit beträgt der Schnittwinkel \( 64,6^{\circ} \).

Aufgabe c):

Nachweis, dass \( f \) und \( E \) parallel verlaufen:

\( \vec{n} \cdot \vec{m}_{f}=\left(\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 12 \end{array}\right) \cdot\left(\begin{array}{l} -2 \\ -4 \\ 0,5 \end{array}\right)=-2-4+6=0 \text {; somit ist } \vec{n} \perp \vec{m}_{f} \)

Der Punkt \( (50 \mid 75 \mid 24) \) der Geraden \( f \) liegt nicht in \( E \), da \( 50+75+12 \cdot 24=413 \neq 326 \) ist.

Folglich ist \( E \) (echt) parallel zu \( f \).

Abstand \( f \) und \( E \) :
\( d(E, f)=\left|\left[\left(\begin{array}{l} 50 \\ 75 \\ 24 \end{array}\right)-\left(\begin{array}{c} 41 \\ -3 \\ 24 \end{array}\right)\right] \cdot\left(\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 12 \end{array}\right) \cdot \frac{1}{\sqrt{146}}\right|=\frac{87}{\sqrt{146}} \approx 7,2 \)

Das Flugzeug fliegt im Abstand von \( 72 \mathrm{~m} \) zur Flugebene der Zugvögel.

Aufgabe d):

Die Gerade \( h: \vec{x}=\left(\begin{array}{c}70 \\ -80 \\ 28\end{array}\right)+s \cdot\left(\begin{array}{c}-6 \\ 3 \\ z\end{array}\right) \) gibt die neue Flugbahn an.

Auf der neuen Flugbahn liegt Punkt \( Q^{*}(22|-56| 40) \) senkrecht oberhalb von \( Q(22|-56| 30) \). Der Lösungsansatz
\( \left(\begin{array}{c}22 \\ -56 \\ 40\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}70 \\ -80 \\ 28\end{array}\right)+s \cdot\left(\begin{array}{c}-6 \\ 3 \\ z\end{array}\right) \) führt auf \( s=8 \) und \( z=\frac{3}{2} . \)

Answer 3

ist dir klar wie man den Schnittwinkel zwischen Gerade und Ebene durch den Richtungsvektor der Geraden und dem Normalenvektor der Ebene bestimmt?

Den Normalenvektor der Ebene kannst du direkt aus der Koordinatenform ablesen:

Ebene in KF: \( ax+by+cz + d = 0 \)

zugehörige Normalenvektor: \(\vec{n} = \begin{pmatrix} a\\b\\c \end{pmatrix} \)

Gruß

Answer 4

Ein Bussard kreist über einem Feld und erspäht eine Maus auf dem Boden (xy-Ebene). Er fliegt von A(39|3|36) aus geradlinig in Richtung (1|-3|-6) auf die Maus zu.

a) Geben Sie eine Geradengleichung für die Flugbahn des Bussards an.

g: X = [39, 3, 36] + r·[1, -3, -6]

b) Ermitteln Sie die Koordinaten des Punktes M, indem sich die Maus befindet.

X = [39, 3, 36] + r·[1, -3, -6] = [x, y, 0] -->  r = 6 ∧ x = 45 ∧ y = -15 → M(45 | -15 | 0)

c) Von A aus erreicht der Bussard die Maus in 10 Sekunden. Bestimme die Geschwindigkeit.

6 * |[1, -3, -6]| * (10 m) / (10 s) = 40.69 m/s = 146.5 km/h

Korrektur mit den richtigen Werten aus dem Original.

Answer 5

Ermitteln Sie die Koordinaten des Punktes \( M \), in dem sich die Maus befindet.

Gerade durch den Ausgangspunkt des B mit Richtungsvektor hinschreiben g= P+t*v

hierin x3=0, daraus t, daraus die anderen Koordinaten, durch einsetzen von t in die Geradengl.

Gruß lul