Größe des Winkels, unter dem Ebene die x1x3 Ebene schneidet

Question

Aufgabe

Berechnen Sie den Winkel unter dem die Ebene F: 2x₁ + x_{2 =}4  die x1x₃  Ebene schneidet. Durch einsetzen des Koeffizienten 2 in der Ebenengleichung von F durch a=0 verändert sich der Schnittwinkel der Ebene mit der x1x3 Ebene.

Bestimmen Sie einen Wert von a , für den dieser Schnittwinkel 45 Grad groß ist. Untersuchen Sie welche Größe dieser Schnittwinkel für a= 0 annehmen kann

Problem/Ansatz:

Hallo, wie müsste man hier vorgehen, va. dass der Schnittwinkel genau 45 Grad groß ist?

Answer 1

Dann wäre ja F: ax₁ + x₂ =4.

Dann wäre ein Normalenvektor \(  \begin{pmatrix} a\\1\\0 \end{pmatrix} \)

und der andere \(  \begin{pmatrix} 0\\1\\0 \end{pmatrix} \)

Der Schnittwinkel der Ebenen ist der Winkel zwischen den

Normalenvektoren. Für den gilt:

cos(α) =   \(  \frac{\begin{pmatrix} a\\1\\0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0\\1\\0 \end{pmatrix} }{ || \begin{pmatrix} a\\1\\0 \end{pmatrix} ||\cdot || \begin{pmatrix} 0\\1\\0 \end{pmatrix}|| } =  \frac{ 1}{  \sqrt{1+a^2} \cdot 1 }  \)

Und wegen cos(45°) = 1 / √2  ist das also für |a|=1 erfüllt.

Und für a=0 sind die Ebenen parallel und verschieden, also

gibt es da keinen Schnittwinkel.