Bestimmen Sie eine Ebene in Hesse-Normalform, die E2 im Winkel pi/4 schneidet?

Question

Bestimmen Sie eine Ebene in Hesse Normalenform, die E_2: <x, (1/sqrt(18)   -1/sqrt(18)   4/sqrt(18))> im Winkel π/4 schneidet?

Answer 1

E2 hat als Normalenvektor  (1/sqrt(18)   -1/sqrt(18)   4/sqrt(18)) bzw. ( 1 ; -1 ; 4 )

also braucht E einen Normalenvektor  n  , der mit diesem einen Winkel von pi/4 hat.

wenn man den als Einheitsvektor hat gilt sogar

cos( pi/4 )  =  n * (1 ; - 1 ; 4 )  /   sqrt(18)

sqrt(2) / 2   =  n * (1 ; - 1 ; 4 ) /  (  3*   sqrt(2) )

( sqrt(2) / 2 )  *   ( 3*   sqrt(2) )   =  n * (1 ; - 1 ; 4 ) 

3   =  n  * (1 ; - 1 ; 4 )   und  |n| = 1

Also  wäre  mit n = (x;y;z) zu beachten

x² + y² + z² = 1  und  x - y + 4z = 3

Da gibt es mehrere Lösungen.