Bestimmen Sie die Hesse-Normalform der Ebene E , in welcher die Punkte A, B und C liegen.

Question

Aufgabe:

Gegeben seien im Raum \( \mathbb{R}^{3} \) die Punkte

\( A=\left(\begin{array}{l} 5 \\ 3 \\ 9 \end{array}\right), \quad B=\left(\begin{array}{l} 1 \\ 2 \\ 3 \end{array}\right) \quad \text { und } C=\left(\begin{array}{l} 3 \\ 3 \\ 6 \end{array}\right) \)

Bestimmen Sie die Hesse-Normalform der Ebene \( E \), in welcher die Punkte \( A, B \) und \( C \) liegen.

\( \left\langle\frac{1}{\sqrt{13}}\left(\begin{array}{r} -3 \\ 0 \\ 2 \end{array}\right) \mid\left(\begin{array}{l} x \\ y \\ z \end{array}\right)\right\rangle=\frac{3}{\sqrt{13}} \)

Answer 1

AB = B - A = [1,2,3] - [5,3,9] = [-4, -1, -6]

AC = C - A = [3,3,6] - [5,3,9] = [-2, 0, -3]

n = AB ⨯ AC = [-4, -1, -6] ⨯ [-2, 0, -3] = [3, 0, -2]

E: (x - [1, 2, 3]) · 1/√13 · [3, 0, -2] = 0

E: x * 1/√13 · [3, 0, -2] = - 3/√13