Hesse;sche Normalform der Ebene

Question

ich habe eben eine Aufgabe gelöst, bin mir aber nicht ganz sicher ob meine Lösungen richtig sind.

Gegeben sind die Punkte A(1,2,4); B(-2,-1,8) und C(-4,2,2).

Erste Aufgabe war es, Mittels dieser drei Punkte eine Ebenengleichung in Parameterform zu bestimmen (was ja sehr easy ist) ➡️ Meine Lösung: E: x= (1,2,4)+r(-3,-3,4)+s(-5,0,-2)

Zweite Aufgabe war es, eine Skalarform der Ebenengleichung anzugeben, meine Lösung:

E: <(6,-26,-15);[(x,y,z)-(1,2,4)]>    ...war auch noch sehr einfach.

Jetzt allerdings bin ich mir nicht mehr ganz so sicher, Aufgabe ist es, die Hessesche Normalform der Ebene E aufzustellen. Ich bin dazu nämlich auf zwei Darstellungsformen der HNF gestoßen:

1.) HNF:   E: <n₀;[x-a]>=0

    Demzufolge komme ich auf folgende HNF: 

   1/((937)^1/2)*<(6,-26,-15);[(x,y,z)-(1,2,4)]>=0

2.) ...und hier meine zweite HNF:

     Dafür müsste ich erstmal in die Koordinatenform umformen, Koordinatenform lautet:

     E: 6x-26y-15z+106=0 , |n|= 937^1/2 

    HNF lautet demnach: (6x-26y-15z+106)/(937^1/2)=0

Stimmt das? Ich habe leider keine wirkliche Ahnung von Mathematik - habe aber auch keinen Fehler gefunden.

Und meine eigentliche Frage: Gilt folgendes?:

1/((937)^1/2)*<(6,-26,-15);[(x,y,z)-(1,2,4)]>=0  ⇔  (6x-26y-15z+106)/(937^1/2)=0

D.h. ist es egal, welche Form/Variante ich in der Klausur aufschreibe, wenn nur allgemein nach der HNF gefragt ist?

Dankeschön!!!!! :-)

       

Comments

FYI: Bei deiner zweiten Aufgabe (der Normalform der Ebene) fehlt noch "=0" .

Answer 1

A(1,2,4); B(-2,-1,8) und C(-4,2,2)

AB = B - A = [-2,-1,8] - [1,2,4] = [-3, -3, 4]

AC = C - A = [-4,2,2] - [1,2,4] = [-5, 0, -2]

N = AB x AC = [-3, -3, 4] x [-5, 0, -2] = [6, -26, -15]

|N| = |[6, -26, -15]| = √937

E: (X - A) * 1/|N| * N = (X - [1, 2, 4]) * 1/√937 * [6, -26, -15]

Das ist so die hessische Normalform. 

Wenn du das ausmultiplizierst hättest du sowas wie die hessische Koordinatenform. Damit ist es zwar günstiger zu rechnen und ich benutze die auch immer aber die erste Form wird als Normalenform bezeichnet.

(6·x - 26·y - 15·z + 106)/√937 = 0