Aufgabe:
Bestimmen Sie die die Ebene der Hesse-Normalform die A(1,1,1),B(0,-1,1) und D(4,-2,-2) enthält
Problem/Ansatz:
A(1,1,1) B(0,-1,1) D(4,-2,-2)
1. Zuerst habe ich es in die Parameterform gebracht
(1,1,1) als Stützvektor, B und C als Spannvektoren
--> (x1,x2,x3) =(1,1,1) + µ(0,-1,1)+λ(4,-2,-2)
2. Die Normalform hat die Form <n|x>=d .
Daher erstmal Normalenvektor berechnet.
Kreuzprodukt der beiden Spannvektoren:
(0,-1,1)x(4,-2,-2)= (-1⋅(-2)-1⋅(-2) ),(1⋅4-0⋅(-2)),(0⋅(-2)-(-1)⋅4) = (4,4,4) bzw. (1,1,1)
Frage kann ich den Vektor (4,4,4) auch als (1,1,1) nehmen, weil er ja nur ein Vielfaches ist????
Normiert: \( \frac{1}{√3} \)(1,1,1)
Es ergibt sich die Form: \( \frac{1}{√3} \)x1+\( \frac{1}{√3} \)x2+\( \frac{1}{√3} \)x3=d
en Punkt P(1,1,1)T eingesetzt ergibt: d=\( \frac{3}{√3} \)
kann das so Stimmen?
Zusatz:
Im nächsten Schritt muss ich einen Punkt C = (c1, c2, c3)T ∈ R3 mit c1 > 0 auf der Geraden g so bestimmen, dass das Dreieck mit den Eckpunkten A, B, C den Flächeninhalt \( \frac{√63}{2} \) hat.
Die Gerade g geht durch den Ursprung und ist senkrecht zur Ebene E \( \frac{2}{√6} \)x1+\( \frac{-1}{√6} \)x2+\( \frac{-1}{√6} \)x3=0
Hier soll das Kreuzprodukt eine Rolle spielen, das ein Parallelogramm erzeugt. Ich bin mit diesem Tipp trotz verschiedenen Ansätzen nicht voran gekommen. Wie genau geht man da vor?
|axb|=|a| |b| sin(<Winkel)(a,b)
