Umkehrfunktion von e-Funktion mit Wurzel durch Polynom

Question

$$ f\left( x \right) =\pi \cdot { e }^{ \left( 2+\sqrt { { \left( \frac { 2 }{ x+1 } +1 \right)  }^{ 5 } } +3 \right)  } $$

Ich komme da nicht wirklich weiter. Am liebsten würde ich die e-Funktion mit ln eliminieren aber dann hätte ich ja ln ƒ(x) .. das bringt mich auch nicht wirklich weiter.

Answer 1

$$f(x)=y \Rightarrow y = \pi e^{\left( 2 +\sqrt{\left( \frac{2}{x+1}+1 \right)^5+3} \right)} \\ \Rightarrow \frac{y}{\pi}=e^{\left( 2 +\sqrt{\left( \frac{2}{x+1}+1 \right)^5+3} \right)} \\ \Rightarrow \ln \frac{y}{\pi}=\ln e^{\left( 2 +\sqrt{\left( \frac{2}{x+1}+1 \right)^5+3 }\right)} \\ \Rightarrow \ln \frac{y}{\pi}=2 +\sqrt{\left( \frac{2}{x+1}+1 \right)^5+3} \\ \Rightarrow  \ln \frac{y}{\pi}-2 =\sqrt{\left( \frac{2}{x+1}+1 \right)^5+3} \\ \Rightarrow \left(  \ln \frac{y}{\pi}-2\right)^2 =\left( \frac{2}{x+1}+1 \right)^5+3 \\ \Rightarrow \left(  \ln \frac{y}{\pi}-2\right)^2 -3=\left( \frac{2}{x+1}+1 \right)^5 \\ \Rightarrow \sqrt[5]{\left(  \ln \frac{y}{\pi}-2\right)^2 -3}=\frac{2}{x+1}+1 \\ \Rightarrow \sqrt[5]{\left(  \ln \frac{y}{\pi}-2\right)^2 -3}-1 =\frac{2}{x+1} \\ \Rightarrow x+1=\frac{2}{\sqrt[5]{\left(  \ln \frac{y}{\pi}-2\right)^2 -3}-1} \\ \Rightarrow x=\frac{2}{\sqrt[5]{\left(  \ln \frac{y}{\pi}-2\right)^2 -3}-1}-1$$

Also $$f^{-1}(x)=\frac{2}{\sqrt[5]{\left(  \ln \frac{x}{\pi}-2\right)^2 -3}-1}-1$$

Comments

Wow, vielen Dank maiem! Das ist sogar so gut aufgezeigt das mir das Prinzip noch klarer geworden ist. Vielen Dank, 1,0 Ahoi :)

Answer 2

y = pi * e hoch ....

y/pi =  e hoch ....
ln(y / pi ) =  2 +   (2/(x+1) + 1)^{5/2} + 3

ln(y / pi ) =  5 +   (2/(x+1) + 1)^{5/2}

ln(y / pi ) -  5   =   (2/(x+1) + 1)^{5/2}

(ln(y / pi ) -  5)^{2/5}   =   2/(x+1) + 1

(ln(y / pi ) -  5)^{2/5}  - 1   =   2/(x+1)


x+1    =   2/( (ln(y / pi ) -  5)^{2/5}  - 1 )

x = 2/( (ln(y / pi ) -  5)^{2/5}  - 1 )    -   1 
also
f ^-1(x) = 2/( (ln(x / pi ) -  5)^{2/5}  - 1 )    -   1