Baumdiagramm mit Erwartungswert und Varianz

Question

Beispiel:

In einer Urne sind drei rote und zwei grüne Kugeln. Nacheinander werden Kugeln ohne Zurücklegen gezogen. Die Verteilung der Zufallsgröße X: Anzahl der notwendigen Ziehungen, bis zwei grüne Kugeln gezogen sind lasst sich mithilfe eines Baumdiagramms bestimmen.

\( \begin{array}{l} P(X=2)=\frac{2 \cdot 1}{5 \cdot 4}=\frac{1}{10} \\ P(X=3)=2 \cdot \frac{3 \cdot 2 \cdot 1}{5 \cdot 4 \cdot 3}=\frac{1}{5} \\ P(X=4)=3 \cdot \frac{3 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 1}{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2}=\frac{3}{10} \\ P(X=5)=4 \cdot \frac{3 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 2 \cdot 1}{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}=\frac{2}{5} \end{array} \)

Für den Erwartungswert und die Varianz ergibt sich:

\( k \)	\( p(X=k) \)	\( k \cdot P(X=k) \)	\( (k-4)^{2} \cdot P(X=k) \)
2	0,1	0,2	0,4
3	0,2	0,6	0,2
4	0,3	1,2	0
5	0,4	2,0	0,4
Summe	1	\( E(X)=4 \)	\( V(X)=1 \)

\( E(X)=4 \) bedeutet: Im Mittel benötigt man 4 Ziehungen, bis zwei grüne Kugeln gezogen sind.

Ansatz/Problem:

Kann jemand das Baumdiagramm erklären?

Answer 1

Du hast drei rote und zwei grüne Kugeln. RRR GG

Jetzt wird solange gezogen bis man alle 2 grüne Kugeln gezogen hat. Die Zufallsgröße X beschreibt dabei die notwendigen Ziehungen.

Man kann auch alle Ziehungsmöglichkeiten einzelt aufstellen.

GG - Ich ziehe lediglich 2 grüne Kugeln und muss aufhören

RGG, GRG - Ich ziehe mit 3 Ziehungen genau 2 grüne Kugeln

GGR - Kann ich nicht ziehen weil ich nach der 2. grünen Kugel aufhören müsste

RRGG, RGRG, GRRG - Ich ziehe mit 4 Ziehungen genau 2 grüne Kugeln

Man erkennt das immer als letztes eine grüne Kugel gezogen werden muss weil ich nach der zweiten grünen aufhören muss.

RRRGG, RRGRG, RGRRG, GRRRG - Ich ziehe mit 5 Ziehungen genau 2 grüne Kugeln

Alle diese Möglichkeiten findest du jetzt auch im Baumdiagramm. Schau dir die Pfade im Baumdiagramm an und vergleiche die Ziehungsmöglichkeiten die ich hier notiert habe mit den Pfaden.