Eigenwerte, Eigenvektoren bei Ableitung von Polynomen. Verständnis

Question

Habe folgende Aufgabe und eine Lösung die ich nicht nachvollziehen kann:

Sei f : R[x] → R[x] die lineare Abbildung, die einem Polynom seine zweite Ableitung zuordnet. Was sind die Eigenwerte und Eigenvektoren von f?

Antwort: Der einzige Eigenwert ist die 0 und die zugehörigen Eigenvektoren sind die Polynome vom Grad höchstens 1. Das Nullpolynom ist natürlich kein Eigenvektor.

Ich verstehe, dass ein Eigenwert im Grunde eine Nullstelle des charakteristischen Polynoms ist

Kann mir jemand erklären was genau die funktion macht? Wie nutzen wir diese information bzw. wie treffen wir eine aussage über eigenvektoren von f? Welche Rolle spielen die Ableitungen?

Answer 1

Was macht die Funktion?

Naja sie bildet halt eine Polynomfunktion auf ihre zweite Ableitung ab.

Wie untersuche ich die Eigenvektoren?

In diesem Zusammenhang spricht man auch von Eigenfunktionen (da die Vektoren ja auch Funktionen sind). Grundsätzlich kann man sich ja überlegen, dass für einen Eigenwert \(\lambda \in \mathbb{R} \) gelten müsste:

$$ f(p(x)) = \lambda p''(x) $$

für ein geeignetes Polynom \( p(x) \in \mathbb{R}[X] \).

Durch Koeffizientenvergleich der expliziten Darstellungen der Polynome, sehen wir aber, dass nur \( \lambda = 0\) sein kann. Insbesondere da im Fall \(grad(p) \geq 1\) durch das zweifache ableiten der Grad des Polynoms reduziert wird.

Gruß