Untersuchen Sie die Folgen auf Konvergenz und bestimmen Sie gegebenenfalls den Grenzwert.

Question

Aufgaben:

Untersuchen Sie die Folgen auf Konvergenz und bestimmen Sie gegebenenfalls den Grenzwert.

$$ a _ { n } = \frac { n ^ { 2 } - n + 5 } { n - 3 n ^ { 2 } + 7 } $$

$$ a _ { n } = \sqrt { n ^ { 4 } + 1 } - n ^ { 2 } $$

$$ a _ { n } = \frac { n ! } { n ^ { n } } $$

Kann mir jemand behilflich sein?

Answer 1

an = (n^2 - n + 5)/(n - 3n^2 + 7) = - (n^2 - n + 5)/(3·n^2 - n - 7)

Man kann hier eine Polynomdivision machen

an = - 1/3 + (2/3n - 22/3)/(3·n^2 - n - 7)

Der Rest geht aber gegen Null daher ist der Grenzwert hier - 1/3

an = n!/n^n

n! sind n Faktoren, die die Werte von 1 bis n haben.

n^n sind n Faktoren die alle der Wert n haben.

Damit ist der Nenner viel größer und der Bruch geht gegen Null.

an = √(n^4 + 1) - n^2

√(n^4 + 1) geht für große n gegen n^2.

Der Term n^2 - n^2 geht gegen 0.