Schnittpunkte berechnen. Wo schneiden sich \mathrm{f} und \mathrm{g} ? (Exponentialfunktionen)

Question

Aufgabe Exponentialfunktionen:

Schnittpunkte berechnen. Wo schneiden sich \( \mathrm{f} \) und \( \mathrm{g} \) ?

a) \( \mathrm{f}(\mathrm{x})=\frac{1}{3} \cdot 3^{\mathrm{x}}, \mathrm{g}(\mathrm{x})=\frac{1}{27} \cdot 9^{\mathrm{x}} \)

b) \( f(x)=2 \cdot\left(\frac{1}{2}\right)^{x}, g(x)=16 \cdot\left(\frac{1}{4}\right)^{x} \)

c) \( f(x)=\frac{3}{2} \cdot\left(\frac{2}{3}\right)^{-x}, g(x)=6 \cdot 3^{x} \)

Answer 1

(3/2)*(2/3)^{-x} = 6*3^x

(3/2)*(3/2)^x = 6*3^x

[(3/2)/3]^x = 4

(1/2)^x =2^2

2^{-x} = 2^2

-x = 2

x = -2

Logarithmus ist nicht notwendig, ein Exponentenvergleich reicht völlig aus.

Answer 2

Allgemein

4^{-1} = 1 /4^1
(4/2)^{-1} = 4^{-1} / 2^{-1} = 2^1 /  4^1 = (2/4)^1
(4/2)^{-1} = (2/4)^1

In der Aufgabe stehen aber (2/3)^-x

( 2/3)^{-x} = ( 3/2)^x

(3/2)*(3/2)^x = 6*3^x
(3/2) * 3^x / 2^x = 6 * 3^x  | : 3^x
( 3/2 ) / 2^x = 6  | * 2^x
2^x * 6 = 3 / 2
2^x = 1 / 4  | ln ( )
x * ln ( 2 ) = ln (1 / 4 ) = ln (1 ) - ln ( 4 )
x * ln ( 2 ) = - ln ( 4 )
x = - ln ( 4 ) / ln ( 2 )
entweder mit dem Taschenrechner ausrechnen

oder
x = - ln ( 2^2 ) / ln ( 2 )
x = - 2 * ln ( 2 ) / ln ( 2 )
x = -2

mfg Georg