Punkt / Winkel und Bedingung: Erdwall: f(x)=-0,5(x-3)^2+1,5, Wasserspiegel: y=-0,15

Question

in der Zeichnung ist ein Wassergraben mit einem Erdwall dargestellt. Links vom Graben verläuft das Gelände eben. Der Erdwall wird im Intervall 1;4,5 durch die Funktion f mit der Gleichung f(x)=-0,5(x-3)^2+1,5 beschrieben. DEr Wasserspiegel liegt bei y=-0,15. Ein 4,5m langes Brett wird, wie in der Zeichnung dargestellt, über den Wassergraben gelegt. A(-1/0).

a) Bestimmen sie Punkt B.

b) Welchen Winkel hat das Brett gegenüber der Waagrechten?

c) Damit sich das Brett beim Betreten nicht zu weit durchbiegt, sollte de Abstand zwischen den Punkten A und B niht mehr als 4 m betragen, ist diese Bedingung erfüllt.

Answer 1

f(x) = -0.5·(x - 3)^2 + 1.5 = -0.5·x^2 + 3·x - 3
f'(x) = 3 - x

Man legt also vom Punkt B eine Tangente an den Graphen. Damit muss die Steigung zwischen einem Punkt auf dem Graphen und dem Punkt B gleich der Ableitung in dem Punkt sein.

f'(x) = (f(x) - 0) / (x - (-1))
3 - x = (-0.5·x^2 + 3·x - 3)/(x + 1)
- x^2 + 2·x + 3 = -0.5·x^2 + 3·x - 3
x^2 + 2·x - 12 = 0
x = - 1 ± √13
x = 2.606 (anderer Wert nicht im Definitionsbereich)

f(2.606) = 1.422
f'(2.606) = 0.394

a) Bestimmen sie Punkt B. 

B(2.606 | 1.422)

b) Welchen Winkel hat das Brett gegenüber der Waagrechten? 

arctan(0.394) = 21.50 Grad

c) Damit sich das Brett beim Betreten nicht zu weit durchbiegt, sollte de Abstand zwischen den Punkten A und B niht mehr als 4 m betragen, ist diese Bedingung erfüllt?

d = √((2.606 - (-1))^2 + (1.422 - 0)^2) = 3.876