Wendetangente von f(x)= - 0,125x^3 + 0, 75x² - 4: Winkel und Punkt berechnen

Question

Ich habe hier folgendes Beispiel:

f(x)= - 0,125x³ + 0, 75x² - 4

f`(x)= - 0,375x² + 1,5x

f``(x)= -0,75x+ 1,5

N1=(-2/0); N2=(4/0); H=(4/0); T=(0/-4); W=(2/-2)

Berechnen Sie, in welchem Punkt und unter welchem (positiven) Winkel die Wendetangente die x-Achse schneidet!

 

Ich habe nun keine Ahnung, wie ich das machen soll. 
Die Gleichung der Wendetangente habe ich versucht aufzustellen:  2= -2x+ 1,5 .
Ist das richtig? Ich habe für y die x Koordinate meines Wendepunktes eingesetzt, für x die y- Koordinate meines Wendepunktes und d habe ich folgendermaßen errechnet: Die x Koordinate des Wendepunktes in die erste Ableitung eingesetzt.

Nun komme ich leider nicht weiter :(((((( 
Wie ist das mit dem positiven Winkel gemeint?

Liebe Grüße

 

Answer 1

f(x)= - 0,125x³ + 0, 75x² - 4

Berechnen sie, in welchem Punkt und unter welchem (positiven) Winkel die Wendetangente die x-Achse schneidet!

Du hast die Wendestelle schon bei 2 berechnet. Die Wendetangente hat damit die Gleichung

t(x) = f'(2) * (x - 2) + f(2)

Einsetzen, ausrechnen und einsetzen

t(x) = f'(2) * (x - 2) + f(2) = 3/2 * (x - 2) + (-2) = 1.5x - 5

Gesucht ist die Nullstelle der Tangente t(x) = 0

1.5x - 5 = 0
x = 5/1.5 = 10/3

Und der Winkel des Anstiegs

α = arctan(1.5) = 56.31°

 

Comments

wie kommst du denn auf -5 in 3/2 * (x - 2) + (-2) = 1.5x - 5?

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Ausmultiplizieren

3/2 * (-2) + (-2) = -5

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oh, ja ist klar x`DDDDDD

Wenn ich eine Wendetangente aufstellen möchte, gilt dann immer  t(x) = f'(2) * (x - 2) + f(2)?

Also f`( vom x wert meines wendepunktes) * ( x - y Wert meines Wendepunktes) + f( vom x wert meines Wendepunktes)

?

Lg

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Ja. Das ist die Punkt-Steigungsformel der Geradengleichung: https://de.wikipedia.org/wiki/Punktsteigungsformel

Darfst du auswendig wissen, wenn du schneller rechnen willst.

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Ja aber aufpassen es ist

f '(x wert meines wendepunktes) * ( x - x wert meines wendepunktes) + f(x wert meines Wendepunktes)  

Answer 2

Hi,

die Wendetangente ist eine lineare Funktion t(x) = mx + n, die den Anstieg beim Wendepunkt hat und durch den Wendepunkt geht.

m = f'(x_w)

n = f(x_w) - m*x_w.

Die Nullstelle (Schnittpunkt mit der x-Achse) der Tangente t(x) ergibt sich aus

x_0 = - n / m,

wie man durch Umstellen von 0 = mx + n leicht herausfindet.

Der Schnittwinkel α ist einfach der arctan des Anstiegs m:

α = arctan(m).

MfG

Mister

Comments

n = f(x_w) - m*x_w.

Die Nullstelle (Schnittpunkt mit der x-Achse) der Tangente t(x) ergibt sich aus

x_0 = - n / m,

 

Das versteh ich nicht oO

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Na, du hast doch den Wendepunkt x_w, y_w gegeben. Die erste Zeile deines Zitates kann man auch schreiben als

n = y_w - m*x_w.

Ich habe einen bestimmten Punkt (den Wendepunkt), der bekannt ist und auch auf der Funktion liegt, in die Funktionsgleichung eingesetzt und nach n umgestellt, um n bestimmen zu können. Die Werte sollst du selber einsetzen.

Gleiches gilt für die allgemeine Darstellung der Nullstelle:

0 = t(x_0) = mx_0 + n (umstellen)

,,, x_0 = - n /m

MfG

Mister

Answer 3

f(x)= - 0,125x³ + 0, 75x² - 4

f`(x)= - 0,375x² + 1,5x

f``(x)= -0,75x+ 1,5

N1=(-2/0); N2=(4/0); H=(4/0); T=(0/-4); W=(2/-2)

Berechnen Sie, in welchem Punkt und unter welchem (positiven) Winkel die Wendetangente die x-Achse schneidet!

Gleichung der Wendetangente:

Ansatz

t: y = mx + q

Steigung m entnimmt man der ersten Ableitung an der Stelle x=2

 

m= f `(2)= - 0,375*2² + 1,5*2 = 1.5 = 3/2

Nun Wendepunkt in Gleichung für t einsetzen:

-2 = 1.5 * 2 + q

-2 = 3 + q

-5 = q

t: y = 1.5x - 5

Steigungswinkel ALPHA = arctan(m) = arctan (1.5) = 56.31°

Schnittstelle der Tangente mit der x-Achse

0 = 1.5x - 5

5 = 1.5x

5/1.5 = x = 10/3 = 3.333

Repetition zu Steigung von Geraden...

vgl: https://www.matheretter.de/kurse/fkt/linear-nf

Comments

Nun Wendepunkt in Gleichung für t einsetzen:

-2 = 1.5 * 2 + q