Integral berechnen mit komplexen Zahlen und Partialbruchzerlegung PBZ

Question

Wir sollen die folgenden Integrale berechnen:

Aufgabe a:

\( \int \frac{2 x^{2}+x-4}{x^{3}-x^{2}-2 x} d x \)

Aufgabe b:

$$\int _ { 0 } ^ { 1 } \frac { x - i } { x + i } d x$$

Aufgabe c:

$$\int \frac { 2 x + 5 } { x ^ { 2 } + 4 x + 6 } d x$$

Comments

bei c) ist zu beachten, dass der Nenner komplexe Nullstellen aufweist und die PBZ entsprechend bearbeitet werden sollte ...

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Vom Duplikat:

Titel: Berechnen Sie folgende Integrale: ∫ (x-i)(x+i) dx von 0 bis 1.

Stichworte: integral,analysis,ableitungen

Berechnen Sie folgende Integrale:

(a) \( \int \frac{2 x^{2}+x-4}{x^{3}-x^{2}-2 x} d x \),

(b) \( \int \limits_{0}^{1} \frac{x-i}{x+i} d x \),

(c) \( \int \frac{2 x+5}{x^{2}+4 x+6} d x \).

Kann mir jemand den Rechenweg erklären?

Answer 1

Aufgabe a

Aufgabe b

Aufgabe c) mal schnell gerechnet , zugegeben nicht ganz einfach

Schau es dir an:

Answer 2

Probier es beim ersten mal mit Partialbruchzerlegung

f(x) = (2·x^2 + x - 4)/(x^3 - x^2 - 2·x) = 1/(x - 2) - 1/(x + 1) + 2/x

Beim nächsten mal mit trixen probieren

f(x) = (2·x + 5)/(x^2 + 4·x + 6) = (2·x + 4)/(x^2 + 4·x + 6) + 1/(x^2 + 4·x + 6)

Schau dir auch die Lösung bei Wolframalpha an. Die erste Wahl wenn es um Hilfe zu solchen Integralen geht.

https://www.wolframalpha.com/input/?i=integral+%282·x+%2B+5%29%2F%28x%5E2+%2B+4·x+%2B+6%29

Wenn du fragen zur Lösung hast dann frag gerne nochmal nach.

Answer 3

Vielleicht lässt sich das so leichter integrieren:

$$ \frac{x-i}{x+i} $$
$$ \frac{\sqrt{x^2 +1^2}\cdot e^{i \arctan\frac{- 1}x}}{\sqrt{x^2 +1^2}\cdot e^{i \arctan\frac{+ 1}x}} $$
$$ \frac{ e^{i \arctan\frac{- 1}x}}{ e^{i \arctan\frac{+ 1}x}} $$
$$  e^{i( \arctan\frac{- 1}x- \arctan\frac{+ 1}x)} $$
$$  e^{i( \arctan\frac{- 1}x+\arctan\frac{- 1}x)} $$
$$  e^{i(2 \arctan\frac{- 1}x)} $$
$$  e^{i(-2 \arctan\frac{ 1}x)} $$