Exponentialfunktion Untersuchung. f(x) = (4+5x)*e^{0.5x}

Question

Aufgabe - Funktionsuntersuchung einer Exponentialfunktion:

Gegeben ist die Funktion \( f(x)=(4+5 x) \cdot e^{0,5 x}, x \in \mathbb{R} \).

a) Bestimmen Sie die Schnittpunkte der Funktion f mit den Koordinatenachsen.

b) Zeigen Sie, dass die ersten beiden Ableitungen der Funktion \( f(x) \) durch

\( \begin{aligned} f^{\prime}(x) &=e^{0.5 x}(7+2,5 x) \\ f^{\prime \prime}(x) &=e^{0,5 x}(6+1,25 x) \end{aligned} \)

gegeben sind. Untersuchen Sie, ob der Graph von \( f \) Hoch- und Tiefpunkte besitzt und geben Sie diese ggf. an.

c) Bestimmen Sie die Gleichung der Tangente von \( f \) in \( x_{0} \)

Answer 1

Verwende (etwa für b)) oder auch für ähnliche Fragestellungen) folgende Ableitungsregel, die leicht aus der Produkt- und der Kettenregel herleitbar ist:

$$ f(x) = u(x)\cdot\text{e}^{v(x)} \\ f'(x) = \left(u'(x)+v'(x)\cdot u(x)\right)\cdot\text{e}^{v(x)} $$