Funktionsuntersuchung f(x) = x+e^(1-x)

Question

Aufgabe:

Die Funktion f ist gegeben durch f(x) = x+e^(1-x)

a) Begründen Sie, dass der Graph von f immer oberhalb der 1. Winkelhalbierden mit der Gleichung y = x verläuft und sich dieser Geraden für x -> unendlich immer mehr annähert.

b) Der Funktionsgraph, die 1. Winkelhalbierende, die y-Achse und die Gerade x = u (u>0) begrenzen eine Fläche. Berechnen Sie den Inhalt A(u) dieser Fläche. Untersuchen Sie, wie sich A(u) für u -> unendlich verhält.

Problem/Ansatz:

Ich verstehe nicht wie ich anfangen sollen, es ist auch bisschen länger her, dass ich diese Aufgaben gemacht habe.. wäre für jede Hilfe dankbar!

Answer 1

a) Begründen Sie, dass der Graph von f immer oberhalb der 1. Winkelhalbierenden mit der Gleichung y = x verläuft

Dazu muss immer  y  >   x  gelten. Einsetzen gibt

                x+e^(1-x)  > x   | -x

                     e^(1-x) > 0

stimmt, weil die Expo.fkt. nur positive Werte hat.

und sich dieser Geraden für x -> unendlich immer mehr annähert.

Bilde die Differenz f(x) - x =   e^(1-x)

       Für x -> unendlich geht  1-x gegen  minus unendlich,

also   e^(1-x)  gegen 0.

Und wenn die Differenz gegen 0 geht, nähern sich die beiden Funktiosgraphen.

b) Der Funktionsgraph, die 1. Winkelhalbierende, die y-Achse und die

Gerade x = u (u>0) begrenzen eine Fläche.

Berechnen Sie den Inhalt A(u) dieser Fläche.

A(u) =\(   \int \limits_{0}^{u}(f(x)-x)dx =   \int \limits_{0}^{u}e^{1-x}dx \)

= [-e^(1-x)]_o^u  =  -e(1-u) + e .

Untersuchen Sie, wie sich A(u) für u -> unendlich verhält.  geht gegen e !