Funktionsgleichung Parabel mithilfe von drei Punkten bestimmen

Question

Der Graph der quadratischen Funktion f geht durch die Punkte P (-3;0), Q (3;0) und R (6;6). 

Wie bestimme ich den Funktionsterm? 

Wenn das als Gleichugen schreibe, kommt jedes Mal ein undlösbarer LGS raus :(

!!!

Comments

Interessant! Eine Antwort ist falsch und die andere unnötig kompliziert...

---

Oh je wirklich?

Was ist den an der Antwort falsch?

Und warum ist die andere unnötig kompliziert? 

---

Na, inzwischen ist sie ja berichtigt worden...

---

Gast hh182 meint vermutlich mit zu kompliziert, dass man wohl eher Symmetrieeffekte ausnutzen solle.

Mir war es aber wichtig, dass man den allgemeinen Weg bei derartigen Aufgaben zeigt, der halt für alle Fälle angewendet werden kann., also abdeckenden Charakter hat.

---

Im Endeffekt perfekt, dass ich beide Antworten bekommen habe.

Beim Versuch, es selber zu rechnen habe ich es so wie Bepprich versucht, allerdings einen Fehler gemacht --> den kann ich jetzt nachvollziehen.

Die elegante Lösung hingegen hilft mir bei meiner Teilaufgabe b auf dem Arbeitsblatt.

In dem Sinne: vielen Dank für beide Antworten!!!!!

Answer 1

Allgemeine Form einer Parabel (quadratische Funktion): y = a*x² + b*x + c

Wir setzen die drei Punkte ein:

P(-3;0): 0 =  a*(-3)² + b*(-3) + c = 9*a - 3*b + c (1)

Q(3;0): 0 = a*(3)² + b*(3) + c = 9*a + 3*b + c    (2)

R(6;6): 6 = a*(6)² + b*(6) + c = 36*a + 6*b + c  (3)

aus (1) folgt c = 3*b - 9*a. das in Gl. (2) einsetzen, ergibt:

0 = 9*a + 3*b + 3*b - 9*a

-> 0 = 6*b => b = 0

Für b = 0 ist c = 3*0 - 9*a = - 9*a, mit Gl. (3) folgt:

6 =  36*a + 6*0 - 9*a

->  6 =  36*a + 6*0 - 9*a = 27a => a = 2/9 und c = -9*/(2/9) = - 2

=> y = (2/9)*x² - 2

Comments

Unkomplizierte Variante:

Aus den Punkten P und Q erkennt man, dass der Graph symmetrisch zur y-Achse ist. In diesem Fall hat die Parabel folgende Form:

y = a*x² + b

Mit Punkt R(6,6) gilt

6 = a*6² + b (1)

Und Mit Punkt Q(3,0) gilt

0 = a*3² + b (2)

Aus Gl (2) folgt b = - 9*a und das in Gl. (1) eingesetzt, ergibt

6 = a*6²  - 9a = 27a

=> a = 6/27 = 2/9

Aus b = - 9*a folgt

b = -2

=> y = (2/9)*x² - 2

Answer 2

Anhand der Nullstellen kann man die Nullstellenform aufstellen

f(x) = a(x + 3)(x - 3)

Nun noch (6, 6) einsetzen und a bestimmen

f(6) = a(6 + 3)(6 - 3) = a*9*3 = 27*a = 6 --> a = 6/27 = 2/9

f(x) = 2/9(x + 3)(x - 3)

Comments

Das sieht mir nach einer sehr eleganten Form aus, das zu lösen :)