Also für ein allgemeines reelles normiertes Polynom n-ten Grades
$$x^n +a_{n-1} x^{n-1} + \dots +a_1 x + a_0$$
mit den (ggf. komplexen) Nullstellen \(x_1, \dots ,x_n\) gilt:
$$a_0 = \prod_{i=1}^{n} x_i$$
und
$$a_{n-1} = -\sum_{i=1}^{n} x_i.$$
(bei letzterem bin ich mir bezüglich des Vorzeichens nicht 100-prozentig sicher, genau so bezüglich der Berücksichtigung mehrfacher Nullstellen, also ob diese auch mehrfach in der Summe auftauchen. Im Produkt tauchen sie auf jeden Fall auf, denn diese Formel ergibt sich ja durch die Linearfaktordarstellung des Polynoms \(\prod_{i=1}^{n} (x_i - x)\) indem man dort 0 einsetzt)
Also der y-Achsenabschnitt jedes Polynoms ist das Produkt seiner Nullstellen und der erste Koeffizient, der nicht 1 ist, entspricht der Summe aller Nullstellen mal -1.
Im Fall n=3 ergibt sich dann eben für das Polynom
$$x^3 + bx^2 + cx + d $$
mit den Nullstellen \(x_1, x_2, x_3\):
$$ d=x_1 \cdot x_2 \cdot x_3\quad\text{und}\quad b=-(x_1 +x_2 +x_3) $$
Mit den beiden Gleichungen kann man dann versuchen Nullstellen zu erraten. Bei Polynomen zweiten Grades geht das damit ziemlich gut.
