Welche der folgenden Mengen sind Unterräume des R^n?

Question

Aufgabe:

Welche der folgenden Mengen sind Unterräume des \( \mathrm{R}^{\mathrm{n}} \)?

Tipp: Stellen Sie sich die Verhältnisse in \( R^{3} \) vor.

a) \( \left\{\vec{x} \in \mathrm{R}^{n} \mid x_{1}=0\right\} \cup\left\{\vec{x} \in \mathrm{R}^{n} \mid x_{2}=0\right\} \)

b) \( \left\{\vec{x} \in \mathrm{R}^{n} \mid x_{1}=0\right\} \cap\left\{\vec{x} \in \mathrm{R}^{n} \mid x_{2}=0\right\} \)

c) \( \left\{\bar{x} \in \mathrm{R}^{n} \mid x_{1} \cdot x_{2}=0\right\} \)

d) \( \left\{\begin{array}{l}\left.\bar{x} \in \mathrm{R}^{n} \| \bar{x} \mid=1\right\}, \text { dabei ist } \quad|\bar{x}|:=\sqrt{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\ldots+x_{n}^{2}}\end{array}\right. \)

Answer 1

Hi,
nur als Beispiel für (d)
weder Summe von Einheitsvektoren noch die skalare Multiplikation von Einheitsvektoren ergibt wieder einen Einheitsvektor. Also liegt bei (d) kein Unterraum vor.

Answer 2

Tut mir leid,falls das etwas spät kommt, aber Algebra scheint hier wohl nicht so beliebt zu sein.
Du musst einfach nur die Axiome für einen Untervektorraum U zeigen:
1. 0 ∈U
2.v,w ∈U =>  v+w ∈U
2 v∈U ==> a *v ∈U      mit a∈R

Also beim ersten z.b.
Wähle v = (v1,v2 ,v3) und w=(w1,w2,w3)
Alle Vektoren für die x1=0 oder x2= 0 sind liegen in dem Unterraum.
1.  (0,0,0 )= 0 ist in der Menge da für 0 gilt x1=0 x2=0 und sogar x3= 0
2. v+w = (v1+w1,v2+w2 ,v3+w3)
Fallunterscheidung:
Stammt v aus x∈R | x1= 0 und w aus x∈R | x2= 0 ,so gibt es ein v mit (0,v2,v3),sodass v2 ≠0 ist und ein w ,sodass (w1,0,w3) wobei w1≠0 ist.
Man hat also :
v+w = (0+w1,v2+0 ,v3+w3) =(w1,v2,w3)
Die anderen Fälle müssen wir gar nicht erst betrachten,denn wir sehen,das v+w nicht in dem Unteraum liegen,da weder w1= 0 noch v2= 0 sind.

Das 3. Axiom wäre hierbei wieder erfüllt,aber das müssen wir gar nicht betrachten,da das zweite nicht erfüllt ist.
Also ist die erste Menge kein Unterraum. Prinzip verstanden?