Hi,
zuerst zur Eindeutigkeit der Nullstelle. Die Funktion \( f(x) \) ist streng monoton wachsend, da die erste Ableitung \( > 0 \) ist. Damit ist die Funktion injektiv umd damit kann es nur eine Nullstelle geben, denn ansonsten gäbe es ja zu einem Bildpunkt mehrere Punkte aus dem Definitionsbereich von \( f \) was ein Widerspruch wäre.
Jetzt zur Existenz der Nullstelle.
betrachte dazu den Differenzenquotient
$$ \frac{f(x)-f(0)}{x} $$ Nach dem Mittelwertsatz der Differentialrechnung gilt $$ (1) \quad \frac{f(x)-f(0)}{x} = f'(\xi) > \frac{1}{c} $$ für ein \( \xi \in [0,x] \)
Da \( f \) streng monoton wachsend ist, kann eine Nullstelle bei \( f(0) > 0 \) nur links von \( 0 \) liegen, also muss \( x < 0 \) gelten. MIt dem gleichen Argument gilt für \( f(0) < 0 \) das für die Nullstelle \( x > 0 \) gilt.
Für \( f(0) > 0 \) gilt wegen (1) $$ f(x) < f(0) + \frac{x}{c} $$ weil \( x < 0 \) gilt. Setzt man für \( x = -c f(0) \) ein, folgt
$$ f(-c f(0) ) < f(0) - f(0) = 0 $$ Also gibt es nach dem Zwischenwertsatz für stetige Funktionen einen Wert \( \eta \in [-c f(0), 0 ] \) mit \( f(\eta) = 0 \)
Mit der gleichen Argumentation beweist man für \( f(0) < 0 \) das es einen Wert \( \zeta \in [0, -c f(0) ] \) gibt für den gilt, \( f(\zeta ) = 0 \)
Damit ist alles bewiesen qed.
