Auf Anfrage habe ich nun beschlossen, eine weitere Tippreihe zur Wahrscheinlichkeitsrechnung und Kombinatorik zu schreiben - ich fange mit dem Stoff an, den die meisten bereits in der achten Klasse hatten und werde es dann immer mehr auf eine allgemeine Ebene bringen.
Ich gebe mal ein Beispiel: In einer Urne sind rote und gelbe Kugeln - von den roten sind es 5, von den gelben 2. Du ziehst zwei Mal ohne Zurücklegen eine Kugel. Mit welcher Wahrscheinlichkeit hast du am Ende zwei rote Kugeln gezogen?
Wie sieht der Baum aus?
Du hast beim ersten Zug zwei Pfade. Beim Zweiten Zug hast du auch nochmal zwei Pfade. Also musst du an den Pfad "rot" nochmal zwei Pfade malen. An den Pfad "gelb" brauchst du keine Pfade mehr machen, da ja nach zwei ROTEN Kugeln nacheinander gefragt ist. Der eine ist immer der Pfad "rot", der andere der Pfad "gelb". Du musst immer die folgenden drei Schritte beachten:
• Pfade zeichnen
• Wahrscheinlichkeiten an die Pfade schreiben
• An dem Ende/den Enden des Pfades das Ereignis, welches gesucht ist, kennzeichnen; manchmal ist nur ein Pfad nötig, manchmal mehrere - hier ist es einer.
Der Baum sieht also wie folgt aus:
Der erste Zug:
Du hast beim ersten Zug den Pfad "rot" mit der Wahrscheinlichkeit 5/7 und den Pfad "gelb" mit der Wahrscheinlichkeit 2/7 (du kannst ja entweder rot oder gelb ziehen):
Der zweite Zug:
Da du ja nicht zurücklegst, sinkt - je nachdem, ob du zuerst eine rote oder eine gelbe Kugel ziehst - die Wahrscheinlichkeit, eine rote bzw. gelbe Kugel zu ziehen. Der gelbe Pfad ist uninteressant, da du ja zwei ROTE Kugeln ziehen sollst. Da du eine rote Kugel gezogen hast, ist eine rote Kugel weg - alle gelben Kugeln sind noch da. Jedoch ist die Gesamtanzahl der Kugeln gesunken. An dem Pfad "rot" sind ja - wie oben schon erklärt - nochmal zwei Pfade, welche wieder die Namen "rot" und "gelb" tragen. Die Wahrscheinlichkeit, eine rote Kugel zu ziehen, sinkt, da ja schon eine rote Kugel weg ist. Die Wahrscheinlichkeit beträgt für "rot" nur noch 4/6. Die Wahrscheinlichkeit, eine gelbe Kugel zu ziehen, erhöht sich, da es immer noch zwei gelbe Kugeln sind - die Gesamtanzahl ist aber gesunken. Die Wahrscheinlichkeit eine gelbe Kugel zu ziehen beträgt jetzt 2/6 (2 zu 6):
Rechnung:
Gefragt ist nach der Wahrscheinlichkeit, zwei rote Kugeln nacheinander zu ziehen (E1). Somit musst du nun die Wahrscheinlichkeiten von "E1" (zwei Züge "rot") miteinander multiplizieren, es ergibt sich folgende Rechnung:
5/7 (Wahrscheinlichkeit beim ersten Zug) mal 4/6 (Wahrscheinlichkeit beim zweiten Zug)
Das Ergebnis ist die Wahrscheinlichkeit für E1 (zwei rote Kugeln nacheinander zu ziehen).
Die Pfadregeln
Nun eine andere Beispielaufgabe: Man hat wieder 5 rote und zwei gelbe Kugeln in einer Urne. Dieses Mal soll aber die Wahrscheinlichkeit bestimmt werden, zwei verschiedenfarbige Kugeln zu ziehen.
Dafür gibt es zwei Möglichkeiten:
a) erst rot, dann gelb
b) erst gelb, dann rot.
Das heißt, im Baum gibt es zwei Wege:
Nun rechnen wir zunächst die Wahrscheinlichkeit aus, erst rot, dann gelb zu ziehen (wie bereits bekannt): P(E1) = 5/7 • 2/6 = 10/42 = 5/21
Jetzt rechnen wir die Wahrscheinlichkeit aus, erst gelb, dann rot zu ziehen: P(E1) = 2/7 • 5/6 = 5/21
Nun addieren wir diese Wahrscheinlichkeiten, um E1 bzw. die Wahrscheinlichkeit für dieses Ereignis zu erhalten: P(E1) = 5/21 + 5/21 = 10/21.
Daraus ergeben sich folgende Regeln:
a) Die Wahrscheinlichkeiten eines Pfades werden multipliziert.
b) Hat man mehrere Pfade, die zum Ereignis führen, so addiert man die Wahrscheinlichkeiten der Pfade.
Das war das Ziehen ohne Zurücklegen - legt man zurück, so wäre das erste Beispiel in unserem Fall 5/7 · 5/7 = 35/42.
Im nächsten Tipp geht es weiter mit dem Ziehen mit einem Griff, auch (ungeordnete) Stichprobe genannt.
