Ich möchte die Liste der Mathe-Artikel noch etwas füllen. In meiner zweiten und vorerst letzten Tipp-Reihe wird es um die Trigonometrie gehen. In diesem Tipp geht es um den Sinus, Kosinus und Tangens im rechtwinkligen Dreieck und am Einheitskreis.
Zur Erinnerung
Ein rechtwinkliges Dreieck hat zwei Katheten, welche beide den rechten Winkel einschließen. Die dritte und längste Seite, die dem rechten Winkel gegenüber liegt, ist die Hypotenuse.
Wir können die Katheten noch unterscheiden. In der Trigonometrie unterscheidet man noch zwischen Ankathete und Gegenkathete. Nimmt man einen der anderen beiden Winkel (also nicht den rechten), so ist die am Winkel anliegende Kathete die Ankathete, die dem Winkel gegenüberliegende Kathete die Gegenkathete.
Der Sinus
Der Sinus eines im rechtwinkligen Dreieck bildet sich aus dem Verhältnis von Gegenkathete durch Hypotenuse:
sin(α) = GK/H
Der Kosinus
Der Kosinus eines Winkels berechnet sich aus dem Verhältnis von Ankathete zur Hypotenuse:
cos(α) = AK/H
Der Tangens
Der Tangens eines Winkels berechnet sich aus dem Verhältnis von der Gegenkathete zur Ankathete:
tan(α) = GK/AK
Umkehrung
Mit diesen Formeln hast du ja nur den Sinus, Kosinus oder Tangens des Winkels. Um den Winkel zu berechnen, musst du den sin^{-1}, tan^{-1} oder cos^{-1} des Quotienten berechnen. Man nennt dies auch arcussinus, arcuscosinus bzw. arcustangens, kurz arcsin, arccos bzw. arctan.
Der Einheitskreis
Als einen Einheitskreis bezeichnet man einen Kreis, welcher den Radius 1 hat. Dieser Kreis hat - in ein Koordinatensystem gezeichnet - seinen Mittelpunkt im Ursprung.
Eine entsprechende Zeichnung dazu:
Man nehme sich den Einheitskreis und markiere irgendwo auf dem Kreisbogen im ersten Quadranten einen Punkt P. Dieser hat die Koordinaten P(x|y). Man ziehe von diesem Punkt eine vertikale Linie, bis diese die x-Achse schneidet. Diese drei Punkte ergeben ein rechtwinkliges Dreieck, bei dem die Ankathete vom Winkel α die x-Koordinate, die Gegenkathete die y-Koordinate des Punktes und die Hypotenuse logischerweise den Wert 1 hat. Ich werde diesen Winkel Pi im Fortlaufenden mit Alpha bezeichnen.
Der Sinus im Einheitskreis
Man stellt vorerst eine Gleichung auf, mit dem man den Winkel berechnen kann. Der wäre hier wieder Ankathete durch Hypotenuse, also der y-Wert des Punktes P durch 1. Dieses "durch 1" können wir uns sparen - der Sinus des Winkels Alpha - gebildet durch die x-Achse und die Halbgerade g, durch den Ursprung und P verlaufend - im Einheitskreis ist gleich der y-Koordinate des Punktes P.
Nun ziehst du parallel zur x-Achse eine Gerade, die durch den Punkt P verläuft. Diese wird den Kreis im zweiten Quadranten schneiden - dort liegt der Punkt P'(-x|y). Jetzt wirst du feststellen: Der Winkel Alpha ist größer als 90°. Wir haben den Sinus gerade für spitzwinklige Dreiecke im Einheitskreis definiert, das muss auch für stumpfwinklige Dreiecke geschehen. Der Sinus ist gleich dem y-Wert von P. Allerdings hat der Punkt P' die gleiche y-Koordinate des Punktes P, somit hat der stumpfe Winkel den gleichen Sinuswert.
Der Ergänzungswinkel zu 180° ist der alte Winkel Alpha. Somit gilt:
sin(α) = sin(180°-α).
Der Kosinus im Einheitskreis
Man nehme sich wieder exakt die gleiche Zeichnung wie oben, mit beidem Punkten P und P'.
Nun stellt man eine Gleichung für den Kosinus auf, der hier Ankathete durch Hypotenuse ist:
cos(α) = x/1
Also haben wir für den Kosinus im Einheitskreis folgende Definition: Der Kosinus des Winkels Alpha - gebildet durch die x-Achse und der Halbgeraden g, durch den Ursprung und P verlaufend - ist gleich der x-Koordinate des Punktes P.
Nun nehmen wir uns wieder den stumpfen Winkel Alpha. Der Punkt P' hat die negative x-Koordinate des Punktes P. Somit muss folgendes gelten, da auch hier das alte Alpha der Ergänzungswinkel zu 180° ist:
cos(α) = -cos(180°-α)
Der Tangens im Einheitskreis
Der Tangens ist ja, wie wir wissen, im rechtwinkligen Dreieck Gegenkathete durch Ankathete. Nimmt man sich nun das rechtwinklige Dreieck, so kommt man auf Folgendes:
tan(α) = sin(α)/cos(α).
Dass der Tangens - im Einheitskreis oben die gelbe Strecke - auch die gleiche Länge wie der sin/cos, zeigt der zweite Strahlensatz. Es gilt nämlich:
tan(α) / 1 = sin(α) / cos(α) => tan(α) = sin(α) / cos(α)
Hier geht es weiter mit Teil 2.
