Im zweiten Teil geht es um den Sinussatz und den Kosinussatz im spitz- und stumpfwinkligen Dreieck inklusive Herleitung. Im ersten Teil hatten wir das Thema Sinus-Kosinus-Tangens eingeführt.
Sinussatz bei spitzwinkligen Dreiecken
Mit dem Sinussatz ist es uns möglich, bei allgemeinen - vorerst spitzwinkligen - Dreiecken mit zwei gegebenen Seiten und einem gegebenen Winkel (oder umgekehrt) den Rest zu ermitteln.
Man nehme sich ein spitzwinkliges Dreieck und bezeichne die Seiten und Winkel wie üblich. c bildet die Basis des Dreiecks, auf diese zeichnest du die Höhe h. Diese teilt das Dreieck in zwei rechtwinklige, und wir können den Sinus im rechtwinkligen Dreieck für Alpha und Beta anwenden:
sin(α) = h/b
sin(β) = h/a
Nun stellen wir beide Gleichungen nach h um und setzen gleich:
a•sin(β) = b•sin(α)
nun teilen wir noch jeweils durch die Seiten und haben die Gleichung:
sin(α)/a = sin(β)/b = sin(γ)/c
Sinussatz bei stumpfwinkligen Dreiecken
Man nehme sich ein Dreieck, bei dem Beta der stumpfe Winkel ist. Die Höhe liegt außerhalb des Dreiecks und man erhält sie, indem man die Seite c verlängert und im rechten Winkel dazu eine Halbgerade durch den Eckpunkt C zeichnet.
Nun erhalten wir gleich zwei rechtwinklige Dreiecke:
- ein großes mit den Seiten h und b und
- ein kleines mit den Seiten h und a
Stellen wir nun wieder Gleichungen auf. Für den Winkel Alpha ist das einfach:
sin(α) = h/b
Nun ist Beta aber größer als 90°. Hier kommt jetzt die Info aus dem zweiten Tipp zur Anwendung: da sin(β) = sin(180°-β), gilt hier
sin(β) = h/a.
Jetzt wird wieder nach h umgeformt, gleichgesetzt und man erhält nach dem Umformen:
sin(α)/a = sin(β)/b = sin(γ)/c
Der Sinussatz in Worten
Das Verhältnis von dem Sinus eines Winkels zu der Länge der gegenüberliegenden Seite ist im Dreieck für jeden Winkel und die jeweilige Seite immer das Gleiche.
Der Kosinussatz in spitzwinkligen Dreiecken
Der Kosinussatz ist anzuwenden, wenn in einem - vorerst spitzwinkligen - Dreieck zwei Seiten und der eingeschlossene Winkel gegeben sind.
Die Herleitung des Kosinussatzes ist etwas Komplexer. Man nehme sich wieder ein Dreieck mit den üblichen Bezeichnungen. Dieses Mal zeichnet man die Höhe allerdings auf die Seite a. Es entstehen zwei rechtwinklige Dreiecke - einmal mit den Seiten b, h und x und einmal c, h und a-x.
Nun wendet man den Satz des Pythagoras an. Nach dem gilt
h^2 = b^2-x^2
h^2 = c^2 -(a-x)^2
Dies setzt man nun gleich und formt nach c^2 um:
b^2 -x^2 = c^2 -(a-x)^2
b^2 -x^2 +(a-x)^2 = c^2
b^2 -x^2 +a^2 -2ax +x^2 = c^2
a^2 +b^2 -2ax = c^2
Nun müssen wir noch wissen, welchen Wert x hat. Dazu wenden wir den Kosinus im rechtwinkligen Dreieck an:
cos(γ) = x/b => x = b•cos(γ)
Das setzen wir jetzt für x ein:
c^2 = a^2 +b^2 -2ab•cos(γ)
Übrigens: Der Satz des Pythagoras ist eine Sonderform des Kosinussatzes. Hat man die Katheten und den rechten Winkel gegeben, so erhält man die Hypotenuse durch Quadrieren der beiden anderen Seiten. Der Produktterm, der folgt, fällt weg. Warum? Ganz einfach: Der Kosinus von 90° ist Null, und ein Nullprodukt ist auch null.
Der Kosinussatz im stumpfwinkligen Dreieck
Den Beweis finde ich persönlich am kompliziertesten.
Man nehme sich ein stumpfwinkliges Dreieck mit den üblichen Bezeichnungen, der Winkel Gamma bildet den stumpfen Winkel. Das Dreieck wird jetzt entsprechend durch eine Höhe ergänzt, indem wir die Seite b verlängern und im rechten Winkel dazu eine "Halbgerade" zeichnen, die durch den Eckpunkt B verläuft. Dieses Dreieck hat die Hypotenuse a und die Katheten h und u. Die Seite b+u ist die Seite v. Der Ergänzungswinkel zu 180° ist der Winkel δ.
man erhält folgende Formeln:
c^2 = h^2 +v^2
v = b+u
u = a•cos(δ)
h = a•sin(δ)
Nun setzt man die Formeln für v und h in die erste Formel ein:
c^2 = h^2 +v^2
= a^2•sin(δ)^2 +(b+u)^2
= a^2•sin(δ)^2 +b^2 +2bu +u^2
Nun hat man ja für u auch eine Formel, die man jetzt für u einsetzt:
c^2 = a^2•sin(δ)^2 +b^2 +2ba•cos(δ) + a^2•cos(δ)^2
= a^2•(sin(δ)^2 +cos(δ)^2) +b^2 +2ab•cos(δ)
Nun haben wir ja da ja sin^2+cos^2 stehen. Nimmt man sich wieder den Einheitskreis, so ergeben die Kathetenquadrate 1. Die Katheten waren ja sin und cos, somit ist sin^2 +cos^2 = 1. Das machen wir uns hier zu Nutze:
c^2 = a^2 +b^2 +2ab•cos(δ)
Nun ist aber der Kosinus von Delta laut der Definition im Einheitskreis -cos(γ), also ist unsere endgültige Formel auch hier
c^2 = a^2 +b^2 -2ab•cos(γ).
Hier geht es weiter mit Teil 3.
