Der dritte und letzte Teil dieser Trigonometrie-Reihe behandelt die allgemeine Sinusfunktion. Im ersten Teil hatten wir die Grundlagen geklärt, im zweiten Teil den Sinussatz und Kosinussatz.
Winkel- und Bogenmaß; Periode
Erstmal werde ich euch was zum Winkel- und Bogenmaß erklären. Das Winkelmaß wird in Grad angegeben, z.B. 78°. Das Bogenmaß ist eine Zahl, und jedem Winkel ist eine Zahl im Bogenmaß zugeordnet. Nehmen wir uns nochmal den Einheitskreis. Dieser hat bekanntlich den Umfang 2π. Zeichnet man jetzt in den Einheitskreis den Winkel α ein, so hat der Bogen eine bestimmte Länge. Wichtige Werte sind 45° = π/4, 90° = π/2, 180° = π, 360° = 2π. Jetzt können wir auch Winkel, die größer als 360° sind, im Bogenmaß darstellen.
Da sind wir schon bei etwas Wichtigem, nämlich der Periode. Wenn man sich eine Sinuskurve im Koordinatensystem ansieht, so ist sie wellenartig. Diese Welle "herauf herunter", wie sie bei y=sin(x) - einer normalen Sinusfunktion - der Fall ist, geht bis 2π. Dies ist auch die Periodenlänge, darauf gehe ich aber später noch einmal ein.
Strecken in y-Richtung
Nun kann man die Sinusfunktion strecken. Dies tun wir zunächst in y-Richtung. Wenn man die normale Sinusfunktion jetzt mit Faktor 2 in y-Richtung streckt, dann ist die Funktion y= 2•sin(x). Diese 2 ist allgemein a, also y= a•sin(x). A erhältst du auch, indem du schaust du, wo der Wendepunkt (also der Periodenanfang) liegt und dann schaust, wie hoch sie von dem Punkt aus ist.
Strecken in x-Richtung
Nun kann man die Sinusfunktion nicht nur in y-Richtung, sondern auch in x-Richtung strecken. Der nachfolgende Part ist sehr schwer zu erklären und wird häufig nicht verstanden.
Man nehme sich die normale Sinusfunktion. Nehmen wir aber mal an, die Periodenlänge sei 4π, also doppelt so lang wie normalerweise. Das heißt, dass die Kurve mit dem Faktor 2 gestreckt wurde. Nun ist es so, dass b - der Faktor vor dem x - der Kehrwert des Streckfaktors ist. Das heißt, dass b = 1/2: y = sin(1/2•x).
Das b kann anhand der Periodenlänge leicht bestimmt werden. Die Periodenlänge ist nämlich genauso lang wie 2π/b. Nun stellt man nach b um, also b = 2π/4π = 1/2.
Verschieben in x-Richtung
Man kann die Sinusfunktion auch verschieben, wie jede andere Art von Funktion auch. Wer schon mal was von quadratischen Funktionen gehört hat und weiß, wie es dort mit der Verschiebung war, hat hier gute Karten. Denn wenn man das KS nach rechts verschiebt, wird die Sinuskurve automatisch nach links verschoben und umgekehrt. Eine Verschiebung um π/2 nach links wäre also y = sin(x-π/2) und umgekehrt. So ist das auch beim Verschieben der Normalparabel. Allgemein ist dies die Variable c.
Verschieben in y-Richtung
Man kann die Sinuskurve selbstverständlich nicht nur nach links oder rechts, sondern auch nach oben oder unten verschieben. Das schreibt man da einfach an das Ende: y = sin(x)+1. Allgemein ist dies die Variable d.
Achtung: Wird eine Sinuskurve in x-Richtung verschoben, so geht diese meist nicht mehr durch den Ursprung, sondern schneidet den y-Wert an einem anderen Wert. Schaue zuerst immer, ob eine Verschiebung des Periodenanfangs in x-Richtung vorliegt. Natürlich kann auch beides zusammen vorliegen.
Allgemeine Sinusfunktion
Die allgemeine Form der Sinusfunktion ist
y = a•sin(b(x+c))+d.
Dabei ist
- a: Streckfaktor in y-Richtung
=> a < 0: steigt, fällt bei der ersten Nullstelle, steigt bei der zweiten Nullstelle etc.
=> a > 0: fällt, steigt bei der ersten Nullstelle, fällt bei der zweiten etc. - b: Kehrwert (!!!) des Streckfaktors in x-Richtung
- c: Verschiebung in x-Richtung
=> c < 0: Verschiebung nach links
=> c > 0: Verschiebung nach rechts - d: Verschiebung in y-Richtung
Eine Sinusfunktion sieht wie folgt aus:
Wer möchte, darf diese Funktionsgleichungen gerne bestimmen, da ist eine gute Übung!
