Antwort mit KI erzeugt
Titel der Frage: Welche von den folgenden Mengen sind Unterräume von \( \mathbb{R}^3 \)?
Ein Unterraum eines Vektorraums erfüllt drei Bedingungen:
1. Der Nullvektor ist enthalten.
2. Die Menge ist abgeschlossen unter der Vektoraddition.
3. Die Menge ist abgeschlossen unter der Skalarmultiplikation.
Wir prüfen jede der gegebenen Mengen auf diese drei Bedingungen.
(a) Die Menge aller Vektoren \( v \) der Form \( v = (a, 0, 0) \), wobei \( a \) eine beliebige reelle Zahl ist.
1. Der Nullvektor, \( (0, 0, 0) \), ist in dieser Menge enthalten, wenn \( a = 0 \).
2. Seien \( v_1 = (a_1, 0, 0) \) und \( v_2 = (a_2, 0, 0) \) zwei Vektoren in dieser Menge. Ihre Summe ist \( v_1 + v_2 = (a_1 + a_2, 0, 0) \), was auch in der Menge ist, da \( a_1 + a_2 \) eine reelle Zahl ist.
3. Sei \( c \) eine reelle Zahl und \( v = (a, 0, 0) \) ein Vektor in der Menge. Die Skalarmultiplikation \( cv = c(a, 0, 0) = (ca, 0, 0) \) ist auch in der Menge, da \( ca \) eine reelle Zahl ist.
Diese Menge erfüllt alle drei Bedingungen und ist somit ein Unterraum von \( \mathbb{R}^3 \).
(b) Die Menge aller Vektoren \( v \) der Form \( v = (a, 1, 1) \), wobei \( a \) eine beliebige reelle Zahl ist.
1. Die Menge enthält den Nullvektor \( (0, 0, 0) \) nicht, da es keinen Wert von \( a \) gibt, für den \( v = (a, 1, 1) = (0, 0, 0) \). Damit ist die erste Bedingung nicht erfüllt.
Da die erste Bedingung nicht erfüllt ist, muss diese Menge nicht weiter geprüft werden; sie ist kein Unterraum von \( \mathbb{R}^3 \).
(c) Die Menge aller Vektoren \( v \) der Form \( v = (a, b, a + b) \), wobei \( a \) und \( b \) beliebige reelle Zahlen sind.
1. Der Nullvektor \( (0, 0, 0) \) ist in dieser Menge enthalten, wenn \( a = 0 \) und \( b = 0 \).
2. Seien \( v_1 = (a_1, b_1, a_1 + b_1) \) und \( v_2 = (a_2, b_2, a_2 + b_2) \) zwei Vektoren in dieser Menge. Ihre Summe ist \( v_1 + v_2 = (a_1 + a_2, b_1 + b_2, (a_1 + b_1) + (a_2 + b_2)) = (a_1 + a_2, b_1 + b_2, (a_1 + a_2) + (b_1 + b_2)) \), was auch in der Menge ist, da \( a_1 + a_2 \) und \( b_1 + b_2 \) reelle Zahlen sind.
3. Sei \( c \) eine reelle Zahl und \( v = (a, b, a + b) \) ein Vektor in der Menge. Die Skalarmultiplikation \( cv = c(a, b, a + b) = (ca, cb, c(a + b)) = (ca, cb, ca + cb) \) ist auch in der Menge, da \( ca \) und \( cb \) reelle Zahlen sind.
Diese Menge erfüllt alle drei Bedingungen und ist somit ein Unterraum von \( \mathbb{R}^3 \).
Zusammenfassung
Unterräume von \( \mathbb{R}^3 \) sind die Mengen in (a) und (c), während die Menge in (b) kein Unterraum ist.
