Antwort mit KI erzeugt
Um wie viele Geldeinheiten verändern sich die Kosten, wenn bei einer Produktionsmenge von x = 10 …
Um die Fragen zu beantworten, nutzen wir die gegebene Kostenfunktion \(K(x) =(x - 5)^3 + 125\), wobei \(x > 0\).
(a) Exakte und näherungsweise Änderung der Kosten
Zuerst leiten wir die Funktion \(K(x)\) nach \(x\) ab, um die momentane Änderungsrate der Kosten in Bezug auf \(x\) zu ermitteln. Diese Ableitung, \(K'(x)\), gibt die exakte Änderung der Kosten für eine infinitesimal kleine Änderung der Produktionsmenge.
\(
K'(x) = \frac{d}{dx} [(x - 5)^3 + 125] = 3(x - 5)^2
\)
Nun setzen wir \(x = 10\) ein, um die exakte Änderung der Kosten bei einer Produktionsmenge von 10 Einheiten zu ermitteln.
\(
K'(10) = 3(10 - 5)^2 = 3(5)^2 = 3 \cdot 25 = 75
\)
Das bedeutet, dass sich die Kosten um genau 75 Geldeinheiten erhöhen, wenn die Produktionsmenge von 10 auf 11 (also um eine Einheit) erhöht wird.
Um die näherungsweise Änderung der Kosten zu berechnen, nutzen wir die Differenz \(K(11) - K(10)\).
\(
K(11) =(11 - 5)^3 + 125 = 6^3 + 125 = 216 + 125 = 341
\)
\(
K(10) =(10 - 5)^3 + 125 = 5^3 + 125 = 125 + 125 = 250
\)
Die näherungsweise Änderung der Kosten ist daher \(341 - 250 = 91\) Geldeinheiten.
Fazit: Exakt ändern sich die Kosten um 75 Geldeinheiten, während sie sich näherungsweise um 91 Geldeinheiten ändern.
(b) Näherungsweise Änderung der Kosten in Prozent
Wir wissen, dass sich bei einer Steigerung der Produktionsmenge um ein Prozent \(x\) von 10 auf \(x \cdot 1.01\) erhöht, was \(10 \cdot 1.01 = 10.1\) entspricht.
Die momentane Änderungsrate der Kosten bezogen auf die momentane Produktionsmenge gibt die Elastizität der Kosten in Bezug auf \(x\) an. Da wir die prozentuale Änderung suchen, setzen wir \(x = 10.1\) in die abgeleitete Kostenfunktion ein und vergleichen dies zur ursprünglichen Kostenanzahl bei \(x = 10\).
\(
K'(10.1) = 3(10.1 - 5)^2 = 75.09
\)
Die näherungsweise Kostenänderung in Geldeinheiten ist also \(75.09\), aber da wir die prozentuale Änderung suchen, beziehen wir dies auf \(K(10) = 250\).
\(
\text{Prozentuale Änderung} = \frac{\text{Änderung in Geldeinheiten}}{\text{Ursprüngliche Kosten}} \times 100 = \frac{75.09}{250} \times 100 \approx 30.04 \%
\)
Fazit: Die Kosten verändern sich näherungsweise um etwa 30.04 Prozent, wenn die Produktionsmenge von 10 um ein Prozent erhöht wird.
