Partielle Elastizität nach q: X(p,q) = (p^3 + pq^2)/q

Question

Aufgabe:

Gesucht ist die partielle Elastizität nach q der Funktion X(p,q) = (p³ + pq²) / q

Außerdem ist die Elastizität nach p gegeben als (3p² + q²) / (p² + q²)

Problem/Ansatz:

Wenn ich die Elastizität nach q berechne, also p * (Ableitung nach p) / (X(p,q)), erhalte ich nicht die gesuchten 2 - (3p² + q²) / (p² + q²).

Kann man sich die partielle Ableitung nach q durch die nach p herleiten?

Danke für eure Hilfe

Comments

Die Musterlösung halte ich für richtig. Was hast Du denn für eine Ableitung und für eine Elastizität?

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Elastizität nach q berechne, also p * (Ableitung nach p)

*hüstel*

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Danke, hatte als Ergebnis (- p^3 + pq^2) / (p^3 + pq^2).

Hab beim Ableiten wohl etwas übersehen.

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Das ist weder die Ableitung nach p noch die nach q. Die nach q wäre richtig

Mittlerweile hat Tschakabumba ja die Lösung eingestellt.

Answer 1

Aloha :)

Die partielle Elastizität \(\epsilon_q(X)\) gibt die relative Änderungsrate von \(X(p,q)\) bezüglich \(q\) an:$$\epsilon_q(X)=\frac{1}{X(p,q)}\cdot\left(\frac{\partial X}{\partial q}\cdot q\right)$$Wir benötigen also die partielle Ableitung von \(X\) nach \(q\):$$\frac{\partial X}{\partial q}=\frac{\partial}{\partial q}\left(\frac{p^3+pq^2}{q}\right)=\frac{\partial}{\partial q}\left(\frac{p^3}{q}+pq\right)=-\frac{p^3}{q^2}+p=\frac{-p^3+pq^2}{q^2}$$und erhalten damit die gesuchte Elastitzität:$$\epsilon_q(X)=\frac{\frac{-p^3+pq^2}{q^2}\cdot q}{\frac{p^3+pq^2}{q}}=\frac{\frac{-p^3+pq^2}{q}}{\frac{p^3+pq^2}{q}}=\frac{-p^3+pq^2}{q}\cdot\frac{q}{p^3+pq^2}=\frac{-p^3+pq^2}{p^3+pq^2}$$$$\phantom{\epsilon_q(X)}=\frac{p(-p^2+q^2)}{p(p^2+q^2)}=\frac{q^2-p^2}{q^2+p^2}$$Wir vergleichen diese Lösung mit der, die du erwartest:$$2-\frac{3p^2+q^2}{p^2+q^2}=\frac{2p^2+2q^2}{p^2+q^2}-\frac{3p^2+q^2}{p^2+q^2}=\frac{-p^2+q^2}{p^2+q^2}=\frac{q^2-p^2}{q^2+p^2}\quad\checkmark$$

Answer 2

Kann man sich die partielle Ableitung nach q durch die nach p herleiten?

Das wäre ein falscher Ansatz. Leite einfach X nach q ab.