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Welche von den folgenden Polynommengen sind Unterräume von \(P_3\)?
Um zu prüfen, ob eine gegebene Menge von Polynomen ein Unterraum von \(P_3\) ist, überprüfen wir, ob diese die folgenden drei Eigenschaften eines Vektorraums erfüllen:
1. Die Nullvektor-Eigenschaft: Enthält die Menge das Nullpolynom \(0\).
2. Die Abgeschlossenheit gegenüber der Vektoraddition: Wenn zwei Polynome in der Menge liegen, liegt auch ihre Summe in der Menge.
3. Die Abgeschlossenheit gegenüber der Skalarmultiplikation: Wenn ein Polynom in der Menge liegt und ein Skalar multipliziert wird, liegt das resultierende Polynom ebenfalls in der Menge.
Analyse der vorgeschlagenen Mengen:
(a) Die Polynome der Form \(a_1x + a_2x^2 + a_3x^3\) mit reellen Koeffizienten.
1. Die Nullvektor-Eigenschaft ist erfüllt, da das Nullpolynom \(0x + 0x^2 + 0x^3 = 0\) in der Menge enthalten ist.
2. Die Menge ist gegenüber der Vektoraddition abgeschlossen, weil die Summe von zwei Polynomen der gegebenen Form ebenfalls ein Polynom der Form \(a_1x + a_2x^2 + a_3x^3\) ergibt.
3. Die Menge ist gegenüber der Skalarmultiplikation abgeschlossen, da das Produkt eines Skalars mit einem Polynom der gegebenen Form wiederum ein Polynom der Form \(a_1x + a_2x^2 + a_3x^3\) ist.
→ Diese Menge ist ein Unterraum von \(P_3\).
(b) Die Polynome der Form \(a_0 + a_1x + a_2x^2 + a_3x^3\) mit ganzzahligen Koeffizienten.
1. Die Nullvektor-Eigenschaft ist erfüllt, da das Nullpolynom \(0 + 0x + 0x^2 + 0x^3 = 0\) in der Menge enthalten ist.
2. Die Menge ist zwar gegenüber der Vektoraddition abgeschlossen, wenn man innerhalb der ganzzahligen Koeffizienten bleibt, aber:
3. Die Abgeschlossenheit gegenüber der Skalarmultiplikation ist nicht gegeben, wenn der Skalar nicht ganzzahlig ist; zum Beispiel würde die Multiplikation eines Polynoms dieser Menge mit einem reellen Skalar, der nicht ganzzahlig ist, zu Koeffizienten führen, die nicht ganzzahlig sind.
→ Diese Menge ist
kein Unterraum von \(P_3\), da die Koeffizienten nicht notwendigerweise im Falle der Skalarmultiplikation ganzzahlig bleiben.
(c) Die Polynome der Form \(1 + a_1x + a_2x^2\) mit reellen Koeffizienten.
1. Die Nullvektor-Eigenschaft ist nicht erfüllt, da das konstante Glied \(1\) ist und somit das Nullpolynom \(0\) nicht in der Menge enthalten ist.
2. & 3. Aufgrund der Nichterfüllung der Nullvektor-Eigenschaft müssen die Abgeschlossenheiten gegenüber der Vektoraddition und der Skalarmultiplikation nicht weiter überprüft werden, da die Menge bereits an der ersten Eigenschaft scheitert.
→ Diese Menge ist
kein Unterraum von \(P_3\), da das Nullpolynom nicht enthalten ist.
Zusammenfassung:
Von den gegebenen Polynommengen ist nur die Menge (a) ein Unterraum von \(P_3\).
