Schnitt zweier Unterraume

Question

Aufgabe:

Es seien die Untervektorräume U1 = span{(1, 2, 3), (1, 1, 1), (−1, 1, 3)} und U2 = span{(−1, 5, 4), (−1, 2, 2),
(−2, −5, −2), (2, −1, −2)} des R3 gegeben. Bestimmen Sie jeweils die Dimension und eine Basis von
U1, U2, U1 + U2 und U1 ∩ U2.

Problem/Ansatz: Mein Problem ist gerade bei Schnitt zweier Unterraume zu bilden...

ich danke Ihnen in Voraus!!

Answer 1

Es ist ein El. im Schnitt, wenn es x,y,z und a,b,c,d aus R gibt, die nicht alle

gleich 0 sind mit

x*(1, 2, 3)+y*(1, 1, 1)+z*(−1, 1, 3)= a*(−1, 5, 4)+b*(−1, 2, 2)+c*(−2, −5, −2)+d*(2, −1, −2).

Löse das Gleichungssystem. Ich bekomme für (a,b,c,d) die Lösungsmenge

t*(5,7,7,7) . Also ist der Durchschnitt eindimensional.

Answer 2

da du Basen von \( U_1 \) und \( U_2 \) brauchst bestimmen wir diese zunächst:

Dazu schreibt man das Erzeugendensystem in die Zeilen einer Matrix und formt diese dann mittels elementaren Zeilenumformungen auf Zeilenstufenform um:

$$ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\ 1 & 1 & 1 \\ -1 & 1 & 3 \end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\ 0 & -1 & -2 \\ 0 & 3 & 6 \end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} $$

Die nicht-null Zeilen bilden unsere Basis \( U_1 = \left\langle \begin{pmatrix} 1\\2\\3 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0\\1\\2 \end{pmatrix} \right\rangle \).

Analog bestimmt man \( U_2 = \left\langle \begin{pmatrix} -1\\5\\4 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0\\3\\2 \end{pmatrix} \right\rangle \).

Ein Tool das dir dabei helfen könnte findest du hier: https://www.matheretter.de/rechner/gausstrainer

Jetzt wendet man den Zassenhaus-Alogorithmus an. Dazu schreibt man ein Erzeugendensystem (Basis funktioniert also insb. auch und geht sogar schneller, da die Matrix kleiner wird) des ersten UVRs in die Zeilen einer Matrix, und kopiert diesen Block dann einmal nach rechts. Darunter schreibt man das ES des zweiten UVRs. Der Rest wird mit Nullen aufgefüllt. Bei dir sieht das dann also so aus:$$ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 && 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 2 && 0 & 1 & 2 \\\\-1 & 5 & 4 && 0 & 0 & 0\\ 0&3&2 && 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} $$Diese Matrix bringt man jetzt wieder mit elementaren Zeilenumformungen auf Zeilenstufenform. Ein mögliches Ergebnis ist:$$ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 && 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 2 && 0 & 1 & 2 \\0 &0 & 1 && 1 & 1 & 1\\\\ 0&0&0 && -4 & -1 & 2 \end{pmatrix} $$Alle nicht-null Zeilen die in der linken Hälfte stehen bilden eine Basis der Summe:$$ U_1 + U_2 = \left\langle \begin{pmatrix} 1\\2\\3 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0\\1\\2 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 0\\0\\1 \end{pmatrix} \right\rangle $$Alle nicht-null Zeilen die in der rechten Hälfte neben einer Nullzeile stehen bilden eine Basis des Schnitts: $$ U_1 \cap U_2 = \left\langle \begin{pmatrix} -4\\-1\\2 \end{pmatrix} \right\rangle $$Wenn du nur die Dimension von \( U_1 \cap U_2 \) brauchst, lässt du in diesem Algorithmus die rechte Hälfte einfach weg. In der verbleibenden Matrix findet sich dann nur noch die Basis der Summe und anschließend verwendest du einfach die Dimensionsformel:$$ \dim (U_1 \cap U_2) = \dim U_1 + \dim U_2 - \dim (U_1 + U_2) $$das spart Zeit.