Basis vom Schnitt zweier Unterräume berechnen

Question

Aufgabe:

U1 und U2 Unterräume von ℝ⁴

U1 = Lin ( (1 0 0 1)^T, ( 0 (-1) 1 2)^T ) und U2 = Lin ( (0 0 1 1)^T, (2 1 0 1)^T )

Problem/Ansatz:

Damit ein Vektor im Schnitt liegt muss ich diesen sowohl mit den Basisvektoren U1 als auch mit denen von U2 darstellen können. Die Basisvektoren sind die, die oben angegeben sind, da sie linear unabhängig sind. Also muss gelten:

α₁ (1 0 0 1)^T+ α₂ (0 (-1) 1 2)^T- β₁ (0 0 1 1)^T- β₂ (2 1 0 1)^T= 0

Daraus habe ich dann die zugehörige Matrix auf Zeilenstufenform gebracht und folgendes erhalten:

1	0	0	-2
0	-1	0	-1
0	1	-1	0
1	2	-1	-1

=

1	0	0	-2
0	-1	0	-1
0	0	-1	-1
0	0	0	0

Da in der letzen Zeile nur Nullen stehen, weiß ich nicht so ganz wie es ab diesem Schritt weiter geht

Erhalten würde ich daraus: α₁=2β₂, α₂=-β₂, β₁=-β₂, β₂=β₂

Soweit ich weiß, würde man normalerweise nun die Werte für die eben berechneten Koeffizienten in die folgende Gleichung einsetzten:

α₁ (1 0 0 1)^T + α₂ (0 (-1) 1 2)^T

Und das Ergebnis wäre dann meine Basis des Schnittes

Wobei ich mir hier auch nicht sicher bin ob das gilt.

Answer 1

Da in der letzen Zeile nur Nullen stehen, kannst ß2 frei wählen ( z.B. = t ) und erhältst mit der

vorletzten Zeile  ß1 = -t

Also sehen die Vektoren im Durchschnitt so aus :

-t*(0 0 1 1)T+ t*(2 1 0 1)T= ( 2t ; t ; -t ; 0 )^T

Eine Basis also ( 2 ; 1 ; -1 ; 0)^T.

Comments

Vielen Dank für deine Antwort :)

Eine Frage hätte ich allerdings noch. Hat U1 ∩ U2 nur einen Basisvektor, also Dimension 1? Wenn ja woher weiß man das?

---

Das weiß man , weil bei der Umformung der Matrix

nur eine 0-Zeile entsteht. Wäre es 2 dimensional

dann würden 2 0_Zeilen entstehen, und wenn gar keine

entsteht, ist der Schnitt nur der 0-Vektor.

---

Danke nochmal :)