Basis vom Schnitt aus U und W bestimmen

Question

ich hänge bei einer Aufgabe fest, bei der es darum geht, eine Bais vom Schnitt aus U und W ( U n W) zu bestimmen. Ich weiß grundsätzlich, wie man dabei vorgeht. Zuerst sollte man U und W gleichsetzen, dann mit dem Gauß-Algorithmus fortfahren und anschließend bekommt man die Werte der Koeffizienten. Hier hat man den Spann von U und W, macht das einen Unterschied? In der Lösung hat man nicht gleichgesetzt, deshalb weiß nicht, wie ich die Aufahbe genau angehen soll. Es wäre sehr hilfreich, wenn jemand eine Lösung hätte.

Danke im Voraus

Text erkannt:

Aufgabe 2. Es seien die folgende Untervektorräume vom R-Vektorraum \( M(2 \times 2, \mathbb{R}) \) :
\( U:=\operatorname{Span}\left(u_{1}=\left(\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 2 & -1 \end{array}\right), \quad u_{2}=\left(\begin{array}{cc} 2 & 1 \\ 3 & 0 \end{array}\right), \quad u_{3}=\left(\begin{array}{cc} 0 & 1 \\ 1 & -1 \end{array}\right)\right) \)
sowie
\( W:=\operatorname{Span}\left(w_{1}=\left(\begin{array}{cc} 1 & -1 \\ -1 & 0 \end{array}\right), \quad w_{2}=\left(\begin{array}{cc} 3 & 1 \\ -1 & 1 \end{array}\right)\right) \)
2 (1) Bestimmen Sie eine Basis von \( U \cap W \).

Answer 1

Die Elemente von U sind alle von der Form

au₁ + bu₂ + cu₃  (Das bedeutet doch "Span", alle möglichen Linearkombinationen.)

Bei W entsprechend, also sind in \( U \cap W \) die, bei denen gilt

\(   au_1+bu_2+cu_3=dw_1+ew_2    \)

Das gibt

\(a\left(\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 2 & -1 \end{array}\right)+b\left(\begin{array}{cc} 2 & 1 \\ 3 & 0 \end{array}\right)+c\left(\begin{array}{cc} 0 & 1 \\ 1 & -1 \end{array}\right)\)

\(=d\left(\begin{array}{cc} 1 & -1 \\ -1 & 0 \end{array}\right)+e\left(\begin{array}{cc} 3 & 1 \\ -1 & 1 \end{array}\right)\)

Das gibt ein lineares Gleichungssystem für abcde und dann (wie du sagst) Gauss etc.

Comments

Danke, das hat mir sehr weitergeholfen.