Lineare Algebra - Schnitt zweier Unterräume, basis gesucht.

Question

Aufgabe:

Gegeben seien die Unterräume $$V :=\left\langle\left(\begin{array}{c}{0} \\ {1} \\ {-2}\end{array}\right),\left(\begin{array}{l}{1} \\ {0} \\ {0}\end{array}\right)\right\rangle \quad \text { und } \quad U :=\left\langle\left(\begin{array}{c}{1} \\ {-1} \\ {0}\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}{1} \\ {-2} \\ {1}\end{array}\right)\right\rangle$$ von \(\mathbb{R}^3.\) 

Bestimme Sie eine Basis von \(V∩U\)

Mein vorgehen:

Ich habe gedacht um den Durchschnitt zu bekommen, ich setze beide Unterräume gleich und nehme dann die rechte Seite nach links und bekomme so eine Matrix und bringe diese Matrix dann in Zeilenstufenform. Aber das birgt Probleme. Denn wenn ich die Matrix versuche auszuwerten klappt das nicht weil ich habe 3 Gleichungen und 4 Unbekannte. 

Weiter verwirrt mich, dass:
die Lösung der Matrix ein Vektor aus \(\mathbb{R}^4\) ist aber ich einen aus dem Anschauungsraum erwartet hätte.

Hier die Lösung: 
Wenn der Autor die Matrix auflöst, bekommt er folgendes über $$\left\langle(1,1,3,-2)^{T}\right\rangle.$$ Das wiederum setzt er (irgendwo und ich weiss nicht wieso) ein und erhält mit \(a = 1\) und \(b = 1\) die Gleichung: $$V \cap U=\left\langle(1,1,-2)^{T}\right\rangle $$ Und sagt, weil $$(1,1,-2)^{T}$$ nicht Null ist und einen Durchschnitt erzeugt, ist $$\{(1,1,-2)^{T}\}$$ eine Basis. 


Frage
Kann mir jemand helfen zu verstehen wie man den Durchschnitt zweier Unterräume findet ? 
Kann mir jemand sagen, wieso die Lösung der Matrix in meinem BIld ein Vektor mit vier Komponenten ist?
Kann mir jemand sagen, wieso er den erhaltenen Vektor zurückeinsetzt und nicht der Vektor der Lösung der Matrix bereits ein Durchschnitt ist ? 


Mein Bild, unvollständig gelöst:

Answer 1

Dein Gauss hat einen Freiheitsgrad; du darfst also eine Variable frei wählen. Löse also a, b und c in Abhängigkeit von d.

a·[0, 1, -2] + b·[1, 0, 0] = c·[1, -1, 0] + d·[1, -2, 1] --> a = - 0.5·d ∧ b = - 0.5·d ∧ c = - 1.5·d

Nun setze c ein

(- 1.5·d)·[1, -1, 0] + d·[1, -2, 1] = [- 0.5, - 0.5, 1]·d

Mit d = -2 ergibt sich also

[- 0.5, - 0.5, 1]·(-2) = [1, 1, -2]

So verständlich?

Comments

Vielen Dank ! Das sieht gut aus! 
Trotzdem muss ich nachfragen: 

1. Schritt:
Also ich habe die Matrix aufgelöst in Abhängigkeit von d. 
Und habe bekommen: $$ a = \frac{-9}{-2}d \\ b = \frac{3}{-2}d \\ c = \frac{5}{-2}d \\ d \in \mathbb{R}.$$

1. Frage: Du hast andere Zahlen bekommen, wieso? 

2. Schritt/Frage:
Was soll ich jetzt in diese Gleichung auf meinem Blatt einsetzen ? Alle Variablen ? Du sagst in deiner Antwort, setze c ein. 

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Also wenn ich a,b,c so einsetze, wie ich sie bekommen habe, und d = 1 setze, erhalte ich am Ende einen Vektor ( 0 , 4 , 10 )

Das scheint falsch zu sein. 

Hier ein Bild. 

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Du hast andere Zahlen bekommen, wieso? 

Schau mal in deiner Ersten Matrix vor dem Gaus den 4. Spaltenvektor an.

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Also: 

Meinst du diese Matrix? 

A = \( \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & -2 \\ 0 & 1 & -1 & -1 \\ 0 & 0 & -2 & 5 \\  \end{pmatrix} \)

Dann wäre der letzte Spaltenvektor, nennen wir ihn \(v_4\), wie folgt:

\( v_4 = \begin{pmatrix} -2\\-1\\5 \end{pmatrix} \)

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müsste statt eine 5 ganz unten rechts nicht eine 3 stehen ? meinst du das ?

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Ich meinte diese Matrix

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Ich sehe den Fehler nicht. Ich schaue was ich oberhab stehen habe und das sind drei Gleichungen

1. b-c-d

2. a+c-2d

3. -2a -d


In eine Matrix A geschrieben:

\( A= \begin{pmatrix} 0 & 1 & -1 & -1 \\ 1 & 0 & 1 & -2 \\ -2 & 0 & 0 & -1 \\ \end{pmatrix} \)

Damit ich in der obersten Zeile eine Eins stehen habe, 
vertausche ich Zeilen, ich vertausche Zeile 1 mit 2 und dann die neue zwei mit der Zeile drei. Und erhalte das was oben geschrieben steht. Und dann wird die Zeile mit minus 1 multipliziert, damit das negative Vorzeichen verschwindet.

Kannst du genau sagen was du meinst ?

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Ich habe gesagt du sollst von der Matrix den letzten Spaltenvektor prüfen. Woher kommen die Zahlen und sind die so alle richtig?

Answer 2

Hallo

Vektoren aus V v1,v2

Vektoren aus U u1+u2

 du willst die Abhängigkeit untersuchen* a*v1+b*v2=c*u1+d*u2 damit has du 4 Gl- mit 4 Unbekannten. also dim 4

 und findest 1*v1+1*v2=3*u1-2*u2 raus und damit den Schnitt , der ja schon da steht.

Gruß lul

Comments

Vielen Dank lul !!

Wo finde ich das ? 

und findest 1*v1+1*v2=3*u1-2*u2 raus und damit den Schnitt , der ja schon da steht.

Also wie kommst du auf die Koeffizienten a=1, b=1, c=3, d=-2 ?

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Das Problem ist, dass ich etwa drei mal die Matrix augelöst habe und immer auf etwas neues für a,b,c,d komme und somit auch für den Durchschnittsvektor.

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Hallo

 in deinem Zettel steht eine völlig andere Matrix, als die aus den Zeilenvektoren v1 bis u2, woher kommt deine Matrix?

 dann rechnest du schwer lesbar, nach dem 4 ten <==> spätestens siehst du das links nicht = rechts ist, dann setzt du einfach trotzdem die Differenz 0

 also schrei mal gut leserlich die Matrix von der du ausgehst, wenn du dann Ergebnisse hast setz sie zur Probe ein!

Gruß lul

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Also ich habs nochmal gemacht: 

Mein Vorgehen kurz geschildert: 

1. Schritt:
Ich schaue zuerst was überhaupt die Lineare Hülle von den Erzeugern in V und von den Erzeugern in U ist. 

Ich stelle fest, beide spannen eine zweidimensionale Ebene auf

2. Schritt: 
Ich brauche also einen sogenannten Ebenenschnitt. 
Dazu setze ich V = U 

Also:
 a*v1 + b+v2 = c*u1 + d*u2. 

Ich multipliziere die Buchstaben in die Vektoren rein und addiere diese, dann hab ich links vom Gleichheitszeichen eine Matrix und rechts eine Matrix, danach bringe ich die rechte Matrix auf die linke Seite und addiere bzw. subtrahiere diese.

So bekomme ich eine einzige Matrix A die zu den Buchstaben a,b,c,d korrespondiert.

3. Schritt:
Ich nehme die Matrix A und versuche sie in ZSF zu bringen. denn so kriege ich Lösungen, und meine Lösungen sind ja a,b,c und d. 
Freie Variabel ist d, also a,b,c sind in Abhängigkeit von d ausgedrückt.

4. Schritt:
Wenn ich diese Lösungen habe, setze ich a,b,c hier ein:
a*v1 + b+v2 = c*u1 + d*u2.
 ich erhalte so nicht schöne Zahlen, ich setze aber, damit ich leichtere Zahlen bekomme d=2. 

Und dann habe ich für a,b,c,d alles Zahlen und rechne die Linearkombination links aus und Rechne die Linearkombination rechts aus. 

Dann habe ich links wieder eine Matrix und rechts eine Mattrix. 
(......) = (......) 
Ich nehme die rechts also auf die Linke Seite und Rechne zusammen. 
(......) - (......) = 0  

Lösung:
In meiner Lösung erhalte ich nach 4 Stunden Arbeit und etwa 8 Versuchen dieses mal den Durchschnittvektor ( 0 , 8 ,-16 )




Hier mein Lösungsweg 3 Seiten, geordnet in richtiger Reihenfolge wie Text oben:

1. Seite


2. Seite

3. Seite

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Hallo

du hast a falsch bestimmt. Deine Gleichung für a ist falsch

 du hast aus der ersten Zeile a+c+2d=0 du schreibst a+c-2d=0

 einfacher ist die letzte Zeile der ursprünglichen Matrix 2a+d=0

nachdem du alles hast setzt du zur probe ein, dann musst du doch sehen dass die rechte Seite ungleich der linken ist, du also einen Fehler gemacht hast? denn deine Rechnung sollte doch ergeben dass die linke gleich der rechten Seite ist? das du dann die falschen Ergebnisse voneinander abziehst ist recht sinnlos.

Gruß lul

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Letzte Fragen

1) Ist alles was ich bis auf diesen Fehler bim bestimmen der Variabel a gemacht habe richtig ? Also das Vorgehen.

2)

einfacher ist die letzte Zeile der ursprünglichen Matrix 2a+d=0

Also ich muss ja sowiso alle bestimmen, also a,b,c,d und mithilfe von allen Zeilen. Oder was meinst du ist einfacher ? Was ist einfacher herauszufinden dann? 

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Hallo

 dein b und c war richtig, dein a falsch, das hättest du an der Zeile a+2d=0 sehen können. Vor allem aber, dass du nicht gesehen hast, dass die Probe nicht stimmt und was du danach getan hast war schon nicht gut, sich verrechnen passiert jedem mal, aber dann nicht zu sehen dass das Einsetzen sagt, dass was falsch sein MUSS, find ich schlimm.

Gruß lul

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b und c habe ich im Bild was ich hochgeladen habe hier im Kommentar auf der 2. Seite der drei Dokumente gefunden und nachvollzogen und ich sehe dass es richtig ist. 

Wie habe ich überlegt?

Wenn ich das a herausfinden will, nehme ich die oberste Zeile der Matrix A.
Die lautet: 1 0 1 2 

Das entspricht:
1a + 0b + 1c + 2d

und das wiederum entspricht:
a + c + 2d = 0 | c = (-1,5)d
a -1,5d + 2d = 0 
a + 0,5d = 0 
a = -0,5d

find ich schlimm.

Wenn ich was nicht weiss, versuche ich es herauszufinden und deswegen frage ich auch hier. Naja.

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Hallo

 ich find nicht dich schlimm, aber dass du Proben nicht ernst nimmst!

 und natürlich ist Fragen gut, das mit "schlimm" sollte eher ne Mahnung sein Proben, die nicht stimmen ernst zu nehmen.

Gruß lul

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Klar, ich habe darüber nachgedacht, ich bin im ersten Jahr des Studiums: Mathe. 

Und ich weiss, dass ich fähig bin zu lernen aber mir ist auch gleichzeitig bewusst, dass ich für das Mathestudium viel Lücken habe weil ich stofflich gesehen nicht die besten Voraussetzungen im Vergleich zu anderen mitgenommen habe. 

Zum Beispiel dieser Post, ich habe erst später verstanden dass der Schnitt zweier Unterräume eigentlich der Schnitt zweier Ebenen, hier im obigen Fall, ist. 

Und wahrscheinlich merken aktive Beantworter und Nutzer hier im Forum wie oft ich hier im Forum frage. 

Mathe ist nicht ein leichtes Studium. Trotzdem schäme ich mich nicht zu fragen und ich bin auch überzeugt dass jemand so wie ich auch das Ziel dieses Forums bin und deswegen nutze ich es auch. 

Ich verstehe schon was du sagst und meinst aber das Wort "Schlimm" hat mich schon ein bisschen aus der Bahn geworfen gestern. Aber es hat mir auch gezeigt worauf ich mich achten soll oder was ich nicht übersehen darf. Alles in allem bin ich dankbar für die Antworten hier und auch für deine.