Bestimmen Sie eine Basis von U ∩ W .

Question

Aufgabe:

Im Vektorraum V = Q4 seien zwei Unterräume gegeben.
U = (1,1,0,2),(2,1,1,0) und W = (0,2,-1,1),(3,0,2,1).
(a) Bestimmen Sie eine Basis von U ∩ W .
(b) Bestimmen Sie eine Basis des Summenraums U + W .
(c) Ist die Summe von U und W eine direkte Summe?
(d) Was ist die Dimension des Quotientenraums (U + W) / (U ∩ W)? Geben Sie eine Basis von (U + W ) / (U ∩ W ) an.

Problem/Ansatz:

Ich finde leider Überhaupt keinen Ansatz, um so eine Art von Aufgabe zu berechnen. Könnte mir jemand ggf. die einzelnen Teilaufgaben erklären und vorrechnen? Vielen Dank.

Answer 1

a)  Suche Vektoren, für die es a,b,c,d gibt mit

   a(1,1,0,2)+b(2,1,1,0) = c(0,2,-1,1)+d(3,0,2,1) #

Denn dann sind die in U ∩ W.

Das gibt das Gleichungssystem

a+2b=       3d
a + b = 2c
    b = -c + 2d
 2a    =  c +d

Das gibt wohl a=b=c=d also wird aus #

a(1,1,0,2)+a(2,1,1,0) = a(0,2,-1,1)+a(3,0,2,1)

a(3,2,1,2)=a(3,2,1,2)  also U ∩ W =<3,2,1,2)> , also

Basis = {(3,2,1, 2)}. (war erst vertippt)

Dann ist die Summe also 3-dim. und nicht direkt,

Dimension des Quotientenraums (U + W) / (U ∩ W) = 3 .

Comments

Falsch. Die Vektoren sind linear abhängig! Offenbar hast du es nicht nachgerechnet. Die triviale Lösung gibt es immer, da der Schnitt ein UVR ist.

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Habs gemerkt. Korrigiere.

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Warum ist a=b=c=d?

Wie kommt man U ∩ W =<3,2,1,2)> drauf? Warum ist es letztendlich dann wieder eine Basis vom Anfang?

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Was ist der Lösungsweg und die Basis zu Teil b)?

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Warum ist a=b=c=d?

Gl.system lösen=

a+2b=      3d
a + b = 2c
    b = -c + 2d
2a   =  c +d

a+2b     -3d  = 0
a + b - 2c      = 0    minus 1. Gleichung
     b +c + 2d = 0 
2a  - c    -d   = 0    minus 2 *1. Gleichung

a +2b      -3d = 0
   - b - 2c +3d = 0    
      b   +c  - 2d = 0   +2. Gl.
   -4b - c -7d = 0     -4* 2. Gl.

a +2b     -3d = 0
  - b - 2c +3d = 0   
          -c + d = 0
         7c -7d = 0      +7* 3. Gl

a +2b     -3d = 0
  - b - 2c +3d = 0 
          -c + d = 0
                    0  = 0   

Also d frei wählbar und aus der 3. bekommst du c=d

in die 2. gibt es b=d etc.

Wie kommt man U ∩ W =<3,2,1,2)> drauf?

Alle im Durchschnitt sind Vielfache davon.

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Super, danke.