Zeigen Sie, dass fur die Unterraume U := Bild AT ⊂ R n und V := Kern A ⊂ R n gilt U ⊥ = V

Question

Aufgabe:

Zeilenrang und Spaltenrang
Problem/Ansatz:

Zeilenrang und Spaltenrang

Es sei A ∈ R ^m×n eine Matrix mit Spalten rang Rang_s(A) = dim(Bild A) =: r

i) U ⊂ R ⁿ ein Unterverktorraum mit dim(U) = k und U ^⊥ das orthogonale Komplement des Untervektorraums U und dim(U ^⊥) = n − k gilt

ii) A^T ∈ R ^n×m die zu A transponierte Matrix. Zeigen Sie, dass fur die Unterraume U := Bild AT ⊂ R ⁿ und V := Kern A ⊂ R ⁿ gilt U ^⊥ = V

iii)  Wir setzen den Zeilenrang einer Matrix A ∈ R ^m×n durch Rang_z(A) := dim(Bild A^T ). Folgern Sie aus Teilaufgabe i) und ii), dass gilt dim(Kern A) = n − Rang_z(A).

Hey guys,

Text erkannt:

Beweis: Wir beweisen die Formel \( (*) \). Sei \( \vec{v}_{1}, \ldots, \vec{v}_{n-r} \in \mathbb{R}^{n} \) eine Basis von Kern \( A \). Wir wählen weitere Vektoren \( \vec{v}_{n-r+1}, \ldots, \vec{v}_{n} \in \mathbb{R}^{n} \) so, dass \( \vec{v}_{1}, \ldots, \vec{v}_{n-r}, \vec{v}_{n-r+1}, \ldots, \vec{v}_{n} \) eine Basis des \( \mathbb{R}^{n} \) ist. Ein beliebiger Vektor \( \vec{x} \in \mathbb{R}^{n} \) besitzt also die Darstellung
\( \vec{x}=\sum \limits_{i=1}^{n} \alpha_{i} \vec{v}_{i} \)
mit eindeutig bestimmten Skalaren \( \alpha_{i} \). Mit der Bemerkung zu \( 8.7 \) erhalten wir dann
\( \text { Bild } A=\left\{A \vec{x} \mid \vec{x} \in \mathbb{R}^{n}\right\}=\left\{\sum \limits_{i=1}^{n} \alpha_{i} A \vec{v}_{i} \mid\left(\alpha_{1}, \ldots, \alpha_{n}\right)^{\top} \in \mathbb{R}^{n}\right\} \text {. } \)
Wegen \( A \vec{v}_{i}=\overrightarrow{0} \) für \( 1 \leqslant i \leqslant n-r \) folgt sofort
\( \text { Bild } A=\operatorname{Span}\left(A \vec{v}_{n-r+1}, \ldots, A \vec{v}_{n}\right) . \)
Diese Vektoren sind linear unabhängig, denn
\( \begin{aligned} \sum \limits_{i=n-r+1}^{n} \alpha_{i} A \vec{v}_{i}=\overrightarrow{0} & \Longrightarrow \vec{y}:=\sum \limits_{i=n-r+1}^{n} \alpha_{i} \vec{v}_{i} \in \operatorname{Kern} A \\ & \Longrightarrow \vec{y}=\overrightarrow{0}, \text { weil } \operatorname{Span}\left(\vec{v}_{1}, \ldots, \vec{v}_{r}\right) \cap \operatorname{Span}\left(\vec{v}_{r+1}, \ldots, \vec{v}_{n}\right)=\{\overrightarrow{0}\} \\ & \Longrightarrow \alpha_{n-r+1}=\cdots=\alpha_{n}=0, \text { weil } \vec{v}_{n-r+1}, \ldots, \vec{v}_{n} \text { lin. unabh. sind. } \end{aligned} \)
Daraus folgt \( \operatorname{dim}(\operatorname{Bild} A)=r \) und damit die Formel \( \left(^{*}\right) \).

Ist es okay, wenn ich so anfange? Was soll ich zur Lösung tun?

LG